Μάθημα : 700 Μικτή Mathηση Α.Μ.Θ. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Δραστηριότητες πριν το μάθημα (στο σπίτι)

1.  Επανάληψη παραγοντοποίησης τριωνύμου

Α.  Ελλιπής μορφή αx² + βx  (γ = 0)

Παραγοντοποιείται με κοινό παράγοντα (τουλάχιστον) το x:

αx² + βx = x(αx + β)

Παράδειγμα 1: 2x² + 5x = x(2x + 5)

Παράδειγμα 2: 2x² + 6x = 2x(x + 3)

--------------------------

B. Ελλιπής μορφή αx² + γ  (β = 0)

Παραγοντοποιείται (ως διαφορά τετραγώνων) όταν α και γ είναι ετερόσημοι:

Παράδειγμα 1: 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x – 3)

Παράδειγμα 2: 2x² + 18 = 2 (x² + 9) και δεν παραγοντοποιείται άλλο!

---------------------------

Γ. Πλήρης μορφή  αx² + βx + γ  

Προτείνεται πρώτα (πριν καταφύγουμε στη διακρίνουσα) να ελέγχουμε αν εφαρμόζονται οι παρακάτω πιο γρήγοροι τρόποι:

Γ1.  Αν το τριώνυμο είναι  «τέλειο τετράγωνο», τότε παραγοντοποιείται με τις ταυτότητες:

x² + 2xy + y² = (x + y)²  ή  x² - 2xy + y² = (x - y)² 

Παράδειγμα 1: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Παράδειγμα 2: 4x² – 4x + 1 = (2x - 1)²

Παράδειγμα 3: -8x² + 24x - 18 = -2(4x² - 12x + 9) = -2(2x - 3)².

Γ2.  Αν το τριώνυμο έχει α = 1 (ή αν βγαίνει το α κοινός παράγοντας), τότε πολύ συχνά παραγοντοποιείται με την ταυτότητα:

x² + (κ+λ)x + κλ = (x + κ)(x + λ)

Παράδειγμα 1: x² + 6x + 5

Σκέψη:

... α = 1.

... Ψάχνω δύο αριθμούς κ & λ ώστε  κ + λ = 6  και  κλ = 5.

... Από το γινόμενο και το άθροισμα καταλαβαίνω ότι είναι ομόσημοι και θετικοί.

... Μαντεύω ότι είναι το 1 και το 5.

Άρα x² + 6x + 5 = (x + 1)(x +5)

Παράδειγμα 2: -2x² - 2x + 24

Σκέψη:

... α = -2, αλλά βγαίνει κοινός παράγοντας, άρα: -2x² - 2x + 24 = -2(x² + x - 12).

... Ψάχνω δύο αριθμούς κ & λ ώστε  κ + λ = 1  και  κλ = - 12.

... Από το γινόμενο και το άθροισμα καταλαβαίνω ότι είναι ετερόσημοι και ο θετικός είναι  μεγαλύτερος (ως προς την απόλυτη τιμή) κατά μία μονάδα.

... Μαντεύω ότι είναι το 4 και το -3.

Άρα -2x² - 2x + 24 = -2(x² + x - 12) = -2(x + 4)(x – 3)

Γ3.  Αν στο τριώνυμο ισχύει α + γ = β, τότε «σπάμε» το μεσαίο όρο  βx =  (αx + γx):

αx² + βx + γ = αx²  (α+γ)x + γ = αx²  αx  γx + γ =… ομαδοποίηση ... (x  1)(αx γ) 

Παράδειγμα 1: 2x² + 5x - 7

Σκέψη:

... α + γ = 2 + (-7) = - 5 = - β.

... βx = - αx - γx

Άρα 2x² + 5x – 7 = 2x² – 2x + 7x – 7 = 2x(x – 1) + 7(x – 1) = (x – 1)(2x + 7)

Παράδειγμα 2: 37x² – 8x – 45

Σκέψη:

... α + γ = 27 + (-48) = - 8 = β.

... βx = αx + γx

Άρα 37x² – 8x – 45 = 37x² + 37x – 45x – 45 = 37x(x + 1) - 45(x + 1) = (x + 1)(37x - 45)

Γ4.  Αν στο πλήρες τριώνυμο δεν εφαρμόζεται τίποτα από τα παραπάνω  τότε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: Δ = β² - 4αγ

Αν Δ > 0, τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_1,2 =  \(\frac{-β±\sqrt{Δ}}{2α}\) και παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

αx² + βx + γ = α(x – x₁)(x – x₂)

Παράδειγμα 1: 2x² - 5x - 3

Σκέψη (έλεγχος γρήγορων τρόπων):

… δεν είναι «τέλειο τετράγωνο»,

… δεν έχει α = 1, ούτε βγαίνει το 2 κοινός παράγοντας,

… α + γ = 2 - 3 = -1, διαφορετικό του  ± 5.

Άρα βρίσκουμε τις ρίζες με διακρίνουσα: Δ = β² - 4αγ = (-5)² - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49

και  x_1,2 =   άρα x₁ = και x₂ =

Άρα 2x² - 5x - 3 =

Αν Δ = 0, το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο και παραγοντοποιείται με γρήγορο τρόπo (ίσως χρειάζεται να βγάλουμε πρώτα κάποιον κοινό παράγοντα). Φυσικά γίνεται να παραγοντοποιηθεί και μέσω διακρίνουσας. Η διπλή ρίζα είναι:  

x₁= x₂ =  \(\frac{-β±\sqrt{0}}{2α} = \frac{-β}{2α}\)  

και παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

αx² + βx + γ = α(x – x₁)²

Αν Δ < 0, το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, ούτε παραγοντοποιείται στο R

2. Ερωτήσεις κατανόησης ενότητας 4.2.1 (βαθμολογούνται). Συνιστάται να τις απαντήσετε περισσότερες από μία φορές. Δώστε ιδιαίτερη σημασία στα σχόλια (feedback) πάνω στις απαντήσεις σας, τα οποία θα εμφανιστούν στο τέλος της άσκησης. Έχετε απεριόριστο αριθμό επαναλήψεων και μπορείτε ανά πάσα στιγμή να επιστρέψετε στο βίντεο.

Απαντήστε στις ερωτήσεις κατανόησης της ενότητας 4.2.1 παρακάτω:

Δραστηριότητες στο μάθημα (στο σχολείο)

3.  Συμπλήρωση των φύλλων εργασίας

Δραστηριότητες μετά το μάθημα (στο σπίτι)

4. Test αξιολόγησης

Απαντήστε στο τελικό test της ενότητας 4.2.1 παρακάτω.

 Καλή επιτυχία!

5. Ερωτηματολόγιο αξιολόγησης ενότητας. Το ερωτηματολόγιο είναι ανώνυμο και έχει ως σκοπό τη διαμορφωτική αξιολόγηση του μαθήματος.

Απαντήστε στο ερωτηματολόγιο παρακάτω: