Μάθημα : 700 Μικτή Mathηση Α.Μ.Θ. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Στο τέλος της ενότητας θα έχετε θυμηθεί...

• τις πράξεις μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών, ακέραιων ή κλασμάτων και τις ιδιότητες των αναλογιών
  
• τις δυνάμεις και τις ιδιότητές τους
• τις πράξεις μεταξύ αλγεβρικών παραστάσεων
• τις αλγεβρικές ταυτότητες (θα μάθετε και νέες)
• την παραγοντοποίηση

Καλή επιτυχία!

2.1.1 Η προπαίδεια (Διάρκεια βίντεο 5'28'')

Προτείνεται να κατεβάσετε το βίντεο με την προπαίδεια (ή μόνο τον ήχο) και να το αποθηκεύσετε στο κινητό σας. Μπορείτε να ακούτε με τα ακουστικά (ή/και να βλέπετε) την προπαίδεια οπουδήποτε και οποτεδήποτε: στη στάση/στο λεωφορείο, στο δρόμο από και προς το σχολείο, γενικά σε κάθε χρόνο που αλλιώς θα ήταν "χαμένος".

Χρόνος εκμάθησης: 1 εβδομάδα [max]

Καλή ακρόαση!

Συγγραφή/επιμέλεια: Εξαφτόπουλος Ανέστης, 2ο ΓΕΛ Ξάνθης 2016-17   Εκφώνηση: Βασιλειάδου Φωτεινή, 2ο ΓΕΛ Ξάνθης 2016-17

2.1.2 Πρόσθεση θετικών και αρνητικών αριθμών

Πρόβλημα/Παράδειγμα

α) Είμαι σε ύψος τρία μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας και κατεβαίνω πέντε μέτρα. Σε τι ύψος/βάθος βρίσκομαι;

β) Μετά κατεβαίνω άλλα πέντε μέτρα. Σε τι ύψος/βάθος βρίσκομαι;

Ποιες από τις παρακάτω εικόνες δίνουν τη λύση σε αυτά τα ερωτήματα;

Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (άθροισμα) αποτελείται από 2 μέρη: το πρόσημο και την απόλυτη τιμή.

Αν οι όροι (προσθετέοι) είναι:

ΟΜΟΣΗΜΟΙ (+ και +) ή (- και -)

• τότε βάζουμε το κοινό τους πρόσημο και
• προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους

π.χ. (+3) + (+6) = +3+6 = + (3+6) = + 9

π.χ. (-2) + (-5) = -2-5 = - (2+5) = - 7

ΕΤΕΡΟΣΗΜΟΙ (+ και -) ή (- και +)

• τότε βάζουμε το πρόσημο του μεγαλύτερου (κατά απόλυτη τιμή) και
• αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (μεγαλύτερη μείον τη μικρότερη)

π.χ. (+3) + (-8) = +3-8 = - (8-3) = - 5

π.χ. (-7) + (+9) = -7+9 = + (9-7) = + 2

Ταυτότητες

Ορισμός: Ταυτότητα στα Μαθηματικά λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές και αληθεύει για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών.

π.χ. η ισότητα 2(x+y) = 2x + 2y είναι ταυτότητα, γιατί αληθεύει για κάθε x, y R.

Ομοίως είναι ταυτότητα η ισότητα  0x = 0, αφού αληθεύει για κάθε τιμή του  x R.

Οι βασικές αλγεβρικές ταυτότητες

Παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο:

Επανάληψη παραγοντοποίησης τριωνύμου

Α.  Ελλιπής μορφή αx² + βx  (γ = 0)

Παραγοντοποιείται με κοινό παράγοντα (τουλάχιστον) το x:

αx² + βx = x(αx + β)

Παράδειγμα 1: 2x² + 5x = x(2x + 5)

Παράδειγμα 2: 2x² + 6x = 2x(x + 3)

 ------------------------

Β.  Ελλιπής μορφή αx² + γ  (β = 0)

Παραγοντοποιείται (ως διαφορά τετραγώνων) όταν α και γ είναι ετερόσημοι:

Παράδειγμα 1: 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x – 3)

Παράδειγμα 2: 2x² + 18 = 2 (x² + 9) και δεν παραγοντοποιείται άλλο!

 ------------------------

Γ.  Πλήρης μορφή  αx² + βx + γ  

Προτείνεται πρώτα (πριν καταφύγουμε στη διακρίνουσα) να ελέγχουμε αν εφαρμόζονται οι παρακάτω πιο γρήγοροι τρόποι:

Γ1.  Αν το τριώνυμο είναι  «τέλειο τετράγωνο», τότε παραγοντοποιείται με τις ταυτότητες:

x² + 2xy + y² = (x + y)²  ή  x² - 2xy + y² = (x - y)² 

Παράδειγμα 1: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Παράδειγμα 2: 4x² – 4x + 1 = (2x - 1)²

Παράδειγμα 3: -8x² + 24x - 18 = -2(4x² - 12x + 9) = -2(2x - 3)².

 ------------------------

Γ2.  Αν το τριώνυμο έχει α = 1 (ή αν βγαίνει το α κοινός παράγοντας), τότε πολύ συχνά παραγοντοποιείται με την ταυτότητα:

x² + (κ+λ)x + κλ = (x + κ)(x + λ)

Παράδειγμα 1: x² + 6x + 5

Σκέψη:

... α = 1.

... Ψάχνω δύο αριθμούς κ & λ ώστε  κ + λ = 6  και  κλ = 5.

... Από το γινόμενο και το άθροισμα καταλαβαίνω ότι είναι ομόσημοι και θετικοί.

... Μαντεύω ότι είναι το 1 και το 5.

Άρα x² + 6x + 5 = (x + 1)(x +5)

Παράδειγμα 2: -2x² - 2x + 24

Σκέψη:

... α = -2, αλλά βγαίνει κοινός παράγοντας, άρα:

-2x² - 2x + 24 = -2(x² + x - 12).

... Ψάχνω δύο αριθμούς κ & λ ώστε  κ + λ = 1  και  κλ = - 12.

... Από το γινόμενο και το άθροισμα καταλαβαίνω ότι είναι ετερόσημοι και ο θετικός είναι  μεγαλύτερος (ως προς την απόλυτη τιμή) κατά μία μονάδα.

... Μαντεύω ότι είναι το 4 και το -3.

Άρα -2x² - 2x + 24 = -2(x² + x - 12) = -2(x + 4)(x – 3)

 ------------------------

Γ3.  Αν στο τριώνυμο ισχύει α + γ = ±β, τότε «σπάμε» το μεσαίο όρο 

βx = ± (αx + γx):

αx² + βx + γ = αx²  ± (α+γ)x + γ = αx²  ±αx  ±γx + γ =… ομαδοποίηση ...

… = (x ± 1)(αx ±γ)

Παράδειγμα 1: 2x² + 5x - 7

Σκέψη:

... α + γ = 2 + (-7) = - 5 = - β.

... βx = - αx - γx

Άρα 2x² + 5x – 7 = 2x² – 2x + 7x – 7 = 2x(x – 1) + 7(x – 1) = (x – 1)(2x + 7)

Παράδειγμα 2: 37x² – 8x – 45

Σκέψη:

... α + γ = 37 + (-45) = - 8 = β.

... βx = αx + γx

Άρα 37x² – 8x – 45 = 37x² + 37x – 45x – 45 = 37x(x + 1) - 45(x + 1) = (x + 1)(37x - 45)

 ------------------------

Γ4.  Αν στο πλήρες τριώνυμο δεν εφαρμόζεται τίποτα από τα παραπάνω  τότε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: Δ = β² - 4αγ

Αν Δ > 0, τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_1,2 =   και παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

αx² + βx + γ = α(x – x₁)(x – x₂)

Παράδειγμα 1: 2x² - 5x - 3

Σκέψη (έλεγχος γρήγορων τρόπων):

… δεν είναι «τέλειο τετράγωνο»,

… δεν έχει α = 1, ούτε βγαίνει το 2 κοινός παράγοντας,

… α + γ = 2 - 3 = -1, διαφορετικό του  ± 5.

Άρα βρίσκουμε τις ρίζες με διακρίνουσα: Δ = β² - 4αγ = (-5)² - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49

και  x_1,2 =\( \frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{5\pm7}4\)   άρα x₁ =\( \frac{12}4=3\)  και x₂ =\( -\frac24=-\frac12\;\) , άρα

2x² - 5x - 3 =\( 2\cdot\left(x-3\right)\cdot\left[x-\left(-\frac12\right)\right]=2\left(x-3\right)\left(x+\frac12\right)=(x-3)(2x+1)\)

Αν Δ = 0, το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο και παραγοντοποιείται με γρήγορο τρόπο (ίσως χρειάζεται να βγάλουμε πρώτα κάποιον κοινό παράγοντα). Φυσικά γίνεται να παραγοντοποιηθεί και μέσω διακρίνουσας. Η διπλή ρίζα είναι:  

x₁= x₂ =\( \frac{-\beta\pm\sqrt0}{2\alpha}=\frac{-\beta}{2\alpha}\)   

και παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

αx² + βx + γ = α(x – x₁)²

Αν Δ < 0, το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, ούτε παραγοντοποιείται στο R

Επιμέλεια: Εξαφτόπουλος Ανέστης, 2ο ΓΕΛ Ξάνθης 2018-19

Κατεβάστε την παραπάνω θεωρία και παραδείγματα σε μορφή pdf από τον ακόλουθο σύνδεσμο: