📐 ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

💡 Τι είναι ένα διάνυσμα;

Ένα διάνυσμα παριστάνεται με ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα (βέλος) και χαρακτηρίζεται από:

📏 μέτρο — ↔ διεύθυνση — ➡️ φορά

🟦 1. ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο διανύσματα λέγονται συγγραμμικά όταν οι φορείς τους είναι παράλληλοι ή συμπίπτουν.

Παράδειγμα

A ───────────────→ B

Γ ───────→ Δ

ή

A ───────────────→ B
        Γ ───────→ Δ

✅ Έχουν την ίδια διεύθυνση.

⚠️ Η φορά και το μέτρο τους δεν χρειάζεται να είναι ίδια.

🟢 2. ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο συγγραμμικά διανύσματα λέγονται ομόρροπα όταν έχουν την ίδια φορά.

A ───────────→ B

Γ ─────→ Δ

🧠 Θυμάμαι:

→ →

Ίδια φορά ➜ ΟΜΟΡΡΟΠΑ

Το μέτρο τους μπορεί να είναι διαφορετικό.

🔴 3. ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο συγγραμμικά διανύσματα λέγονται αντίρροπα όταν έχουν αντίθετη φορά.

A ───────────→ B

Δ ←─────── Γ

🧠 Θυμάμαι:

→ ←

Αντίθετη φορά ➜ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ

Το μέτρο τους μπορεί να είναι διαφορετικό.

🟨 4. ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν:

➡️ ίδια διεύθυνση

➡️ ίδια φορά

📏 ίσο μέτρο

A ─────────→ B

Γ ─────────→ Δ

Επομένως:

$$ \boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Gamma\Delta}}$$

⭐ Προσοχή!

Τα ίσα διανύσματα δεν χρειάζεται να έχουν το ίδιο σημείο εφαρμογής.

Ένα διάνυσμα μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα στον εαυτό του χωρίς να αλλάξει.

🟣 5. ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα όταν έχουν:

➡️ ίδια διεύθυνση

↔️ αντίθετη φορά

📏 ίσο μέτρο

A ─────────→ B

Δ ←───────── Γ

Τότε:

$$ \boxed{\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{\Gamma\Delta}}$$

και επομένως:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\Gamma\Delta}=\vec{0}}$$

🎯 ΟΛΑ ΣΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ

Διανύσματα και συντεταγμένες

Παρακάτω μπορείς να βρεις παραδείγματα και λίγες εύκολες ασκήσεις στις συντεταγμένες των διανυσμάτων για να εξοικειωθείς! Κάνε όσες θες έως ότου νιώσεις σίγουρος/η ότι κατάλαβες τα βασικά! Όλα τα υπόλοιπα θα προκύψουν από αυτά!

Αν προσπαθείς να δεις το pdf από κινητό, μπορεί να σου δείχνει μόνο την πρώτη σελίδα! Ίσως θα πρέπει να το κάνει ΛΗΨΗ για να το δεις ολόκληρο...

Εσωτερικό γινόμενο

Αφού ορίσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση στον διανυσματικό λογισμό, ήρθε η ώρα του πολλαπλασιασμού! Και πάλι, έχουμε συναντήσει τον πολλαπλασιασμό διανυσμάτων στη Φυσική! Στο τέλος της Α'Λυκείου, μιλήσαμε για το έργο δύναμης. Αυτό εκφράζει τη μεταφορά ενέργειας από ένα σώμα σε ένα άλλο και είναι μονόμετρο μέγεθος. Για να βρούμε όμως το έργο πολλαπλασιάσαμε την Δύναμη με τη Μετατόπιση, που είνα διανύσματα! Προσέξαμε ότι αναλόγως ποια είναι η κατεύθυνση της δύναμης σε σχέση με τη διεύθυνση της μετατόπισης. είχαμε διαφορετική μεταφορά ενέργειας. Έτσι αναλύσαμε την δύναμη σε μία συνιστώσα πάνω στη διεύθυνση της μετατόπισης και μία κάθετη. Η παράλληλη συνιστώσα της δύναμης «βοηθούσε» ή «ενοχλούσε» το σώμα στη κίνηση (παράγει ή καταλώνει ενέργεια) ενώ η κάθετη δεν έκανε τίποτα και έτσι ορίσαμε το έργο:

$$ W=\vec{F}\cdot Δ\vec{x} = \vec{F_x}\cdot Δ\vec{x} = |F|\cdot|Δx|\cdot συνθ$$

Ολόκληρη η δύναμη «βοηθά» το σώμα.

Ένα μέρος της δύναμης «βοηθα» το σώμα.

Ας δούμε λοιπόν πίσω από τους ορισμούς της φυσικής και να διακρίνουμε τα καθαρά μαθηματικά! Αυτός ο πολλαπλασιασμός ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ή βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων. Το αποτέλεσμα του είναι ένας πραγματικός αριθμός (μονόμετρο μέγεθος) και ορίζεται ως εξής:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot συνθ$$

όπου θ η γωνία μεταξύ των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\). Αν και ακόμα μπορεί να μην φαίνεται... θα δούμε ότι στη συνέχεια το εσωτερικό γινόμενο θα είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο για τη μελέτη της γεωμετρίας!

Από τον ορισμό μπορούμε να βγάλουμε μερικά συμπεράσματα:

• αν \(\vec{a}=\vec{0}\) ή \(\vec{b}=\vec{0}\) τότε και \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{0}\)
• αν \(\vec{a}\perp\vec{β} \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{0}\)

ΠΡΟΣΟΧΗ: Για τα διανύσματα ΔΕΝ ισχύει η ισοδυναμία της άλγρεβρας \(a\cdot b = 0 \Leftrightarrow a=0 ~ή~ b=0\)

Όμως για τα διανύσματα \(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a=0~ ή ~b=0\) ή \(\vec{a}\perp\vec{b}\)

ΠΡΟΣΟΧΗ: Για τα διανύσματα ΔΕΝ ισχύει η ισοδυναμία της άλγρεβρας \(a= b \Leftrightarrow a\cdot c=b\cdot c\)

Για τα διανύσματα \(\vec{a} = \vec{b}  \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}\) όμως \(\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}\) και \(\vec{c}\neq\vec{0}\) ΔΕΝ συνεπάγεται ότι \(\vec{a}=\vec{b}\). Μπορεί να είναι και κάθετα με το \(\vec{c}\)!

• Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}\)
• ΔΕΝ ισχύει η προσετεριστική ιδιότητα: \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\neq \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)
• Έχουμε ακόμα ένα τρόπο για να βρούμε παράλληλες:
   αν  \(\vec{a}\upuparrows\vec{b} \Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\)
  ή αν \(\vec{a}\upharpoonleft\downharpoonright\vec{b} \Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b} = -|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\)
• \(\vec{a}^2=|\vec{a}|^2\)
• Για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύει: \(\hat{i}^2=1\) και \(\hat{j}^2=1\) και \(\hat{i}\cdot\hat{j} = \vec{0}\) διότι \(\hat{i}\perp\hat{j}\)
• ΠΡΟΣΟΧΗ:  ΔΕΝ ισχύει \( \vec{a}^2=\vec{b}^2\Rightarrow\vec{a}=\vec{b}\), έχουν ίσα μέτρα, όχι απαραίτητα και ίσες κατευθύνσεις.
• ΠΡΟΣΟΧΗ:  ΔΕΝ ισχύει \( |\vec{a}\cdot\vec{b}|\Rightarrow|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\), αν για παράδειγμα είναι κάθετα μεταξύ τους, το πρώτο μέλος ισούται με το μηδέν ενώ το δεύτερο ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους.
• ΠΡΟΣΟΧΗ:  ΔΕΝ ισχύει \( (\vec{a}\cdot\vec{b})^2\Rightarrow\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2\), παρόμοιο με το παραπάνω.

Πως γράφουμε ένα εσωτερικό γινόμενο με συντεταγμένες;

• \(\vec{a}\cdot\vec{b} = (x_a,y_a)\cdot(x_b,y_b) = x_a\cdot x_b + y_a \cdot y_b\)

Μπορείς χρησιμοποιώντας τα παραπάνω να αποδείξεις τα παρακάτω;

1. \( (λ \vec{a})\cdot\vec{b} =  \vec{a}\cdot(λ\vec{b}) = λ (\vec{a}\cdot\vec{b}) \)
2. \(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)
3. Αν ορίζονται οι κλίσεις των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\), να δείξεις ότι \(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow λ_a λ_b = -1\).

Μπορείς να βρεις μια έκφραση για το συνθ , της γωνίας θ μεταξύ δύο διανυσμάτων \(\vec{a}, \vec{b}\), και των συνεταγμένων τους; (θυμήσου και τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου)

Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα (εκτός ύλης)

Μπορούμε να σκεφτούμε την προβολή του ν πάνω στο α σαν την «σκιά» του ν πάνω στο α! Άρα είναι ένα νέο διάνυσμα παράλληλο στο α: \(προβ_α \vec{v} = λ\vec{a}\).

Ας αναλύσουμε το διάνυσμα ν σε ένα άξονα παράλληλο με το α και ένα κάθετο. Από τον εσωτερικό πολλαπλασιασμό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: \(\vec{a}\cdot\vec{v} = \vec{a}\cdot προβ_α \vec{v} = λ \vec{a}^2\)

Πίνακας με ημίτονα και συνημίτονα που θεωρούνται γνωστά.