Μάθημα : Α' Λυκείου Άλγεβρα 2ο ΓΕΛ
Πραγματικοί αριθμοί: Πράξεις και Διάταξη
|
Πράξεις - Δυνάμεις - Ταυτότητες
Ας θυμηθούμε τα σύνολα αριθμών!
- Φυσικοί αριθμοί: Οι πρώτοι αριθμοί που μας έμαθαν από παιδιά! \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4...\}\)
- Ακέραιοι αριθμοί: Στην συνέχεια μάθαμε και τους αρνητικούς. Μαζί με τους πρώτους είναι οι ακέραιοι. \(\mathbb{Z} = \{... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...\}\)
- Ρητοί αριθμοί: Ότι μπορούμε να γράψουμε σαν κλάσμα! \(\mathbb{Q} = \{\dfrac{μ}{ν}|μ\in\mathbb{Z}, ~ ν\in\mathbb{Z^*}\}\)
Σαν κλάσματα μπορούμε να γράψουμε όλους τους ακέραιους, π.χ. (\(...\dfrac{-1}{1},\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1}... \))
Σαν κλάσματα μπορούμε να γράψουμε όλους τους δεκαδικούς με πεπερασμένο αριθμό ψηφίων, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τόσα 10 όσα είναι και τα ψηφία πίσω από την υποδιαστολή (κόμα) π.χ. (\(1,234=\dfrac{1234}{1000} \))
Σαν κλάσματα μπορούμε να γράψουμε όλους τους περιοδικούς δεκαδικούς, π.χ. 1,123123123.... \(=1,\overline{123}\)
Θέτω ώς x τον αριθμό και τον πολλαπλασιάζω και τα δύο μέρη της εξίσωσης με τόσα 10, όσα τα ψηφιά που επαναλαμβάνονται: π.χ.
$$ x=1,\overline{123}$$
$$ 1000x=1123,\overline{123}$$
αφαιρώ κατά μέλη
$$ 999x = 1122 \Rightarrow x=\dfrac{1122}{999}$$
- Άρρητοι αριθμοί, \(\mathbb{Ι}\): Όποιοι ΔΕΝ είναι ρητοί! Δηλαδή όσοι ΔΕΝ γράφονται σαν κλάσματα. π.χ. π, e , \(\sqrt{2}\) κτλ. και γενικά οι μη περιοδικοί δεκαδικοί.
- Πραγματικοί αριθμοί, \(\mathbb{R}\): Είναι οι ρητοί και οι άρρητοι.
Ιδιότητες των πράξεων
Ορισμός: Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται με \( α^ν\) και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α.
Από τον ορισμό μπορούμε να βρούμε τον παρακάτω κανόνα!
(για α\(\neq\)0)
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$$
$$a^{-1} = \dfrac{1}{a^1}$$
$$a^{0} = 1$$
$$a^{1} =a$$
$$a^{2} =a \cdot a$$
$$a^{3} = a \cdot a \cdot a $$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Παρατηρούμε πώς όταν η δύναμη αυξάνεται κατά μία μονάδα, πολλαπλασιάζουμε με ένα α, ενώ όταν μειώνεται κατά μια μονάδα διαιρούμε με ένα α. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε την δύναμη μηδέν, και τις αρνητικές!
Από τον ορισμό των δυνάμεων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες :
Οι σημαντικότερες ταυτότητες
Ας προπονηθούμε λίγο στις δυνάμεις και τις ταυτότητες κάνοντας μερικές ασκήσεις!
Διάταξη αριθμών
Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός.