Μάθημα : Άλγεβρα Β' Λυκείου - 2ο ΓΕΛ Κιλκίς
-
Εμφάνιση όλων των ενοτήτων
Τριγωνομετρίκες Συναρτήσεις
|
Τριγωνομετρία Γωνίες Ταυτότητες Εξισώσεις Συναρτήσεις |
Παρατηρώ ότι εάν φέρω προβολές από σημεία της μιας πλευράς της γωνίας «ω» στην άλλη της πλευρά, δημιουργούνται όμοια τρίγωνα! Βρες τους λόγους ομοιώτητας!
Έχει νόημα να δώσουμε ένα όνομα σε αυτούς τους λόγους ;!;!;!; \Rightarrow Τριγωνομετρικοί Αριθμοί!
Ας προσπαθήσουμε τώρα να ξεφύγουμε από τα ορθογώνια τρίγωνα και να βρούμε όμοια τρίγωνα και στο επίπεδο xOy και έτσι να ορίσουμε και τριγωνομετρικούς αριθμούς μεγαλύτερων γωνιών!!
Δημιουργούμε έναν κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα r=1. Παρατήρησε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η ακτίνα με τον άξονα των x'x. Βρες τους τριγωνομετρικούς αριθμούς αυτού του τριγώνου!
Ορίζοντας τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να ορίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς για αμβλείες και μη κυρτές γωνίες αλλά και για γωνίες μεγαλύτερες από \(360^ο\). Μπορείς να παίξεις με την παρακάτω εφαρμογή και να βρεις την τιμή του ημίτονου για κάθε γωνία και να παρατηρήσεις πως μεταβάλλεται!
Τί παρατηρείς; Κάθε πόσες μοίρες ξανασυναντάς τις ίδιες τιμές του ημιτόνου (τεταγμένη);
Ακτίνια
Καλές είναι οι μοίρες για μέτρηση γωνιών... μήπως όμως υπάρχει και κάτι καλύτερο;;;;
Για να δούμε!
Ας έχουμε ένα κύκλο ακτίνας R. Ας πάρουμε και μία επίκεντρη γωνία, η οποία αντιστοιχεί σε τόξο ίσο με την ακτίνα του κύκλου R. Το μέτρο αυτής της γωνίας ισούται με 1rad (radius = ακτίνα)
Δες το παρακάτω βιντεάκι πατώντας τον σύνδεσμο!
Έχουμε λοιπόν από τον ορισμό :
- 1 rad αντιστοιχεί σε τόξο 1R
- θ rad αντιστοιχεί σε τόξο S
Άρα από την απλή μέθοδο των τριών έχουμε ότι \[S = θ \cdot R\]
Άρα μπορούμε να εκφράσουμε πολύ εύκολα το μήκος τόξου του κύκλου σε σχέση με την επίκεντρη γωνία μετρημένη σε rad.
Αντιστοίχηση rad σε μοίρες.
Η περίμετρος του κύκλου (2πR) αντιστοιχεί στην πλήρη γωνία (\(360^o\))
\[ S=θ\cdot R \Rightarrow 2\cdot π \cdot R = θ\cdot R \Rightarrow θ = 2π \]
Δηλαδή, η πλήρης γωνία σε rad είναι 2π και από την απλή μέθοδο των τριών και πάλι:
- 2π rad αντιστοιχεί στις \(360^ο\)
- θ rad αντιστοιχεί σε \(μ^ο\)
\[\Rightarrow θ = \frac{μ^ο\cdot π}{180^ο}\]
Ταυτότητες
Δες ξανά τον τριγωνομετρικό κύκλο.
Παρατήρησε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο που ορίσαμε το ημίτονο και το συνημίτονο ισχύει και το Πυθαγόρειο Θεώρημα!
\[x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \]
\[ημ^2 θ + συν^2 θ = 1 \]
Και επίσης ισχύει ότι \[ ημθ = y ~ και~ συνθ = x\]
\[εφθ = \frac{y}{x}\]
και άρα
\[εφθ = \frac{ημθ}{συνθ}\]
1ο τεταρτημοριο
Εξισώσεις
Παρακάτω έχουμε δύο συνδέσμους. Είναι καλύτερα να τους δείτε από ένα laptop ή σταθερό και όχι από κινήτο, έτσι ώστε να βλέπετε και την ύλη στην οποία αναφέρεται κάθε ερώτηση (στο κινητό συνήθως δεν φαίνονται)
Ο επίσημος και πάντα ενημερωμένος σύνδεσμος είναι από το ΙΕΠ.
Ο σύνδεσμος από το διαδικτυο τα έχει καλύτερα οργανομένα αλλά μπορεί να μην έχει τις νεώτερες ερωτήσεις.