Μάθημα : "Καταραμένα μαθηματικά". Δράσεις και παιχνίδια! Η γλώσσα και τα μαθηματικά αλλιώς!

Η Αλίκη λέει πως «δεν έχει ιδέα ποια είναι η σωστή κατεύθυνση» για την έξοδο από το λαβύρινθο. Ο Τσάρλι τη διορθώνει λέγοντας πως δεν ψάχνουν για τη σωστή, αλλά την «καλύτερη». Κι όταν του λέει πως υπάρχει μόνο μία κατεύθυνση που βγάζει στην έξοδο, αυτός ακριβολογώντας και πάλι της απαντά πως υπάρχει μόνο μία που οδηγεί «συντομότερα» στην έξοδο.

Το να είμαστε ακριβολόγοι έχει μεγάλη σημασία στα μαθηματικά!

Και στη γλώσσα όμως έχει μεγάλη σημασία!

ΚΥΡΙΟΛΕΞΙΑ- ΜΕΤΑΦΟΡΑ

Στο Δημοτικό μάθατε για την κυριολεκτική σημασία των λέξεων και τη μεταφορική. 

Στο βιβλίο της Γ γυμνασίου διαβάζουμε τη θεωρία για την κυριολεξία και τη μεταφορά.

• Στην κυριολεξία μια λέξη ή έκφραση διατηρεί τη βασική και ακριβή σημασία της.

• H μεταφορά είναι ένα σχήμα λόγου. Στη μεταφορά μια λέξη ή μια φράση χρησιμοποιείται σε ένα ορισμένο περιβάλλον με σημασία διαφορετική από την αρχική. Ωστόσο, ανάμεσα στις δύο σημασίες (την κυριολεκτική και τη μεταφορική) υπάρχει κάποια μικρή ή μεγάλη ομοιότητα, η οποία και επιτρέπει, μαζί με τα συμφραζόμενα, την κατανόηση της νέας μεταφορικής σημασίας.

• Oι λέξεις με τη μεταφορά ανανεώνονται, ξαναγεννιούνται. H γλώσσα πλουτίζεται με καινούριες εκφραστικές δυνατότητες.

Να και μια ασκησούλα :

http://users.sch.gr/parantoniou/askiseis/glwssa_enot9ask4.htm

ΕΡΩΤΗΣΗ:

Σκεφτείτε τώρα πού χρησιμοποιούμε κυριολεξία και πού μεταφορά; 

Στην πρώτη ενότητα της Γλώσσας μιλήσαμε για τους κώδικες επικοινωνίας: Γλώσσα Α΄Γυμνασίου ενότητα1η Κώδικες επικοινωνίας

Τα μαθηματικά, λοιπόν, χρησιμοποιούν κι αυτά κώδικα επικοινωνίας. Είναι κι αυτά μια γλώσσα. Η γλώσσα των μαθηματικών περιέχει σύμβολα, αριθμούς, γράμματα, αλλά μοιράζεται και λέξεις και φράσεις από το γλωσσικό κώδικα!!!!

Τα μαθηματικά είναι μία γλώσσα, χωρίς βεβαίως να είναι μόνο αυτό. Μία γλώσσα που μας επιτρέπει να εκφράζουμε σχέσεις, να διατυπώνουμε ιδέες, να θέτουμε ερωτήματα. (Ντενί Γκετζ)

ΑΣ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:

ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ- ΤΑΙΝΙΑ ΤΟΥ MOBIUS

" Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με τους λαβυρίνθους;", ρωτάει η Αλίκη. Κι ο Τσάρλι της εξηγεί: 

" Υπάρχει ένας κλάδος των μαθηματικών που είναι ελάχιστα γνωστός και πολύ ενδιαφέρων. Ονομάζεται "τοπολογία"...

ΕΡΩΤΗΣΗ: (για τετράδιο!!!)

1. Ποιον ορισμό δίνει ο Τσάρλι για την τοπολογία;

2. Ποια παραδείγματα δίνει στην Αλίκη για να καταλάβει τις εφαρμογές της τοπολογίας;

Επειδή όμως είστε ακόμοι μικρές και μικροί για να καταλάβετε αυτόν τον κλάδο, ας προσπαθήσουμε να δούμε μια παιχνιδιάρικη εφαρμογή του. 

Η ΤΑΙΝΙΑ ΤΟΥ MOBIUS

Η ταινία ή λωρίδα του Μέμπιους είναι ένα περίεργο μαθηματικό αντικείμενο με πολλάπλές και θαυμαστές ιδιότητες. Μια επιφάνεια με μια μόνο όψη η οποία οφείλει την ονομασία της στον αστρονόμο και μαθηματικό Αύγουστο Φερδινάνδο Μέμπιους. Αν και άλλος ένας μαθηματικός, ο Λιστινγκ, την είχε επινοήσει πρώτος, έμεινε γνωστή ως "ταινία του Μέμπιους" γιατί ο Μέμπιους ασχολήθηκε επισταμένως μ΄αυτή. 

Ας μάθουμε λίγα πράγματα για τον κύριο Μέμπιους:

Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους - Βικιπαίδεια (wikipedia.org)

Τι είναι όμως αυτή η λωρίδα;

Είναι μια λωρίδα που έχουν ενωθεί οι άκρες της, αλλά πριν ενωθούν  έχουμε περιστρέψει το ένα άκρο της κατά 180⁰.  Αυτό το περίεργο μαθηματικό αντικείμενο έχει πολλές τοπολογικές ιδιότητες. 

Ας κάνουμε κάποιες ασκησούλες για να τις διαπιστώσουμε μόνες και μόνοι μας!!!!!

ΑΣ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ:

• Πάρτε μια λωρίδα χαρτί (όχι πολύ φαρδιά) και ενώστε τα δύο άκρα της, αφού πρώτα περιστρέψετε το ένα άκρο της κατά 180⁰.
• Πάρτε ένα χρωματιστό μολύβι ή στυλο και ξεκινήστε να γράφετε μια γραμμή  στο μέσο της ταινίας που δημιουργήσατε κατά μήκος διατρέχοντάς την.
• Τι διαπιστώνετε;

ΑΣ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΕΙΡΑΜΑ:

• Ξεκινήστε να κόβετε τη λωρίδα κατά μήκος της γραμμής που σχεδιάσατε.
• Τι παρατηρείτε;

Και τώρα ας δούμε αυτές τις ιδιότητες που καταγράψαμε με τα πειράματά μας!

1. Έχει μόνο μια πλευρά και μία ακμή. Δύο επιφάνειες στην ουσία γίνονται μία! Ενώ κάθε επίπεδο γεωμετρικό σχήμα έχει δύο πλευρές!!!

Όποια διαδρομή κι αν ακολουθήσει κανείς κατά μήκος της λωρίδας, τελικά καταλήγει πάντα στο σημείο που ξεκίνησε.

• Αν προσπαθήσουμε να τη διατρέξουμε με ένα μολύβι, θα επανέλθουμε στο σημείο από το οποίο ξεκινήσαμε.
• Αν βάλουμε ένα μυρμήγκι να τη διατρέξει, θα περπατάει επάνω της επ άπειρο επανερχόμενο στο ίδιο σημείο.
• Αν προσπαθήσουμε να τη βάψουμε, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο ένα χρώμα.

2. Αν κόψουμε τη λωρίδα κατά μήκος θα πάρουμε μια μεγαλύτερη λωρίδα, ενώ κανονικά περιμένουμε να πάρουμε δύο!!!!

ΑΣ ΚΑΝΟΥΜΕ ΚΙ ΕΝΑ ΤΡΙΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ:

• Σ΄αυτή τη μεγαλύτερη ταινία που πήραμε γράφουμε κατά μήκος και πάλι με το μολύβι μας μια γραμμή και την κόβουμε όπως πριν.
• Τι διαπιστώνουμε;

3. Αν ξανακόψουμε τη μεγαλύτερη αυτή λωρίδα κατά μήκος, θα περιμέναμε να πάρουμε μια ακόμα μεγαλύτερη. Έκπληξη!!!! Τώρα θα πάρουμε δύο λωρίδες, η μία μέσα στην άλλη, σαν μια αλυσίδα!!!

Περίεργα πράγματα, ε;

Αυτά τα παιχνίδια μπορούμε να τα δούμε, αν μας δυσκολέψουν στο παρακάτω βίντεο:

No Magic At All: Mobius Strip - YouTube

 ΚΙ ΑΛΛΟ ΕΝΑ ΒΙΝΤΕΑΚΙ ΜΕ ΙΔΕΕΣ ΓΙΑ ΣΧΕΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΙΝΙΑ ΜΕΜΠΙΟΥΣ!!!!

Mobius Strip Hearts - Say "I Love You" with Math!

Ας δούμε τώρα που βρίσκει εφαρμογές η ταινία του Μέμπιους!!!

1. Το σήμα της ανακύκλωσης! Είναι μια λωρίδα Μέμπιους.

2. Στην αρχιτεκτονική! 

Γέφυρα Wuchazi στην Κίνα

3. Στη βιομηχανία της μόδας! 

4. Στη μουσική!

Υπάρχει και μουσική Μέμπιους! Την πρωτη φορά παίζεται κανονικά. Όταν όμως τελιώσει η πρώτη σύνθεση και φτάσει στο σημείο απ' όπου ξεκίνησε, ο μουσικός ξαναπαίζει πάλι τη μουσική με παραλλαγές. Δηλαδή μπορεί να την παίζει ανάποδα! 

Ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ έγραψε μουσική Μέμπιους. Τον Καρκινικό κανόνα. Δηλαδή ο μουσικός παίζει ένα κομμάτι και μόλις τελειώσει,  αναποδογυρίζει την παρτιτούρα  και το παίζει πάλι από την αρχή.!!!

Ακούστε  τον καρκινικό κανόνα του Μπαχ!

J.S. Bach - Crab Canon on a Möbius Strip

Μουσική Μέμπιους έγραψε και ο  Αυστρο – ούγγρος μουσικοσυνθέτης Άρνολντ Σένμπεργκ και όνόμασε τα έργα αυτά «κατοπτρικούς κανόνες».

Επίσης ο Ρωσο – αμερικανός συνθέτης και γλωσσολόγος Νίκολας Σλονίμσκι έγραψε βασισμένος στη μουσική Μέμπιους το έργο «Möbius Striptease».

Πατήστε πάνω στον παρακάτω σύνδεσμο:

ΜΟΥΣΙΚΗ ΜΕΜΠΙΟΥΣ: ΑΚΟΥΣΤΕ!!!!

5. Στον κινηματογράφο!

Ταινία "Moebius"  του Gustavo Mosquera

Η ταινία βασίζεται στο διήγημα A Tunnel Called Moebius (Μια σήραγγα που την έλεγαν Moebius) του A.J. Deutsch και  αφηγείται την ιστορία του Daniel Pratt, ενός μαθηματικού με ειδικότητα την τοπολογική θεωρία. Ο ήρωας προσπαθεί  να εξιχνιάσει την χωρίς καμία λογική εξήγηση εξαφάνιση ενός τραίνου, στον υπόγειο σιδηρόδρομο του Μπουένος Άιρες. Πριν από την εξαφάνιση έχουν προηγηθεί κάποιες μυστηριώδεις ανωμαλίες στα δρομολόγια των τραίνων. Σύντομα ο Pratt θα ανακαλύψει ότι οι μηχανικοί που κατασκευάζουν τον υπόγειο, συνεχώς προσέθεταν καινούριες επεκτάσεις στις γραμμές, χωρίς να αντιλαμβάνονται ότι οι γραμμές σχημάτιζαν έναν έλικα του Moebius. Έτσι όμως είχεένα τρένο  εξαφανιστεί με 30 επιβάτες. Το τραίνο κατέληξε να παγιδευτεί σε μία άλλη παράλληλη διάσταση, ταξιδεύοντας έπ' άπειρο. Στην προσπάθεια του να βρει λύση στο μυστήριο ο Pratt γρήγορα θα βρεθεί σε μία παρόμοια κατάσταση: θα ανακαλύψει ότι βρίσκεται και αυτός παγιδευμένος μέσα σ' ένα πίνακα του M.C. Escher.  

6. Στη ζωγραφική!

Ο Μάουριτς Κορνέλις Έσερ, Ολλανδός εικαστικός καλλιτέχνης εφάρμοσε τις ιδιότητες της λωρίδας του Μέμπιους στα έργα του. Αυτό που κυρίως χαρακτηρίζει το έργο του είναι η απεικόνιση του αδύνατου: γραφικές παραστάσεις ανθρώπων, ζώων, αντικειμένων, οι οποίες δημιουργούν την ψευδαίσθηση του απείρου (μοτίβα που δεν τελειώνουν ποτέ και πουθενά, παράδοξες αρχιτεκτονικές δομές, οφθαλμαπάτες). Για να απεικονίσει το αδύνατο, ο Escher χρησιμοποίησε ποιητικά τα μαθηματικά (προβολική γεωμετρία, τοπολογία, μη ευκλείδεια γεωμετρία).

Καταρράχτες                                                                                                                                                                                        Πάνω και κάτω

7. Στη λογοτεχνία!

• Ο συγγραφέας δημοφιλών μυθιστορημάτων επιστημονικής φαντασίας Αρθουρ Κλαρκ άντλησε έμπνευση από το Γερμανό μαθηματικό στο έργο του «Το Τείχος του Σκότους», όπου το Σύμπαν εμφανίζεται ως γιγαντιαία ταινία Μέμπιους.
•  
•  
•  
•  
• Ο συγγραφέας CLIFFORD PICKOVER έγραψε το βιβλίοΗ λωρίδα του Μέμπιους (εκδ. Τραυλός) όπου πραγματεύεται έννοιες από την τοπολογία,την γεωμετρία
• εκείνη που ασχολείται με χώρους που έχουν  ν διαστάσεις , χώρους που ούτε να τους φανταστούμε μπορούμε,αλλά είναι εξαιρετικά εύληπτο και κατανοητό από τον καθένα.

8. Στη βιομηχανία! 

Σε πολλούς τομείς της βιομηχανίας βρίσκει εφαρμογή η ταινία Μέμπιους:

• ζώνες σε συσκευές εκτύπωσης, στους εκτυπωτές με κουκκίδες η μελανοταινία είχε επίσης τη μορφή ταινίας Möbius για να αυξήσει τη διάρκεια ζωής
• αυτόματα κιβώτια ταχυτήτων,
• λειαντικός δακτύλιο σε μηχανισμούς ακονίσματος
• στη βιομηχανία φαρμάκων κλπ.

9. Στην επιστήμη!

Υπάρχει μια θεωρία που υποστηρίζει οτι  το DNA είναι μέρος μιας λωρίδας Mobius. Ερευνητές στον τομέα της γενετικής έχουν ήδη μάθει πώς να κόβουν το μονόκλωνο DNA με τέτοιο τρόπο ώστε να λαμβάνεται μια λωρίδα Möbius από αυτό. 

Υπάρχει επίσης μια επιστημονική υπόθεση ότι το Σύμπαν είναι μια γιγάντια λωρίδα Möbius.

Και ο κατάλογος συνεχίζεται...

Η ΦΙΑΛΗ ΤΟΥ KLEIN

Προέκαταση της ταινίας του Μέμπιους αποτελεί η φιάλη του Clein. Πρόκειται για μια τετραδιάστατη κατασκευή που δημιούργησε ο ο Γερμανός μαθηματικός  Felix Klein.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε θεωρητικά  μια φιάλη του Klein αν πάρουμε μια μακριά λωρίδα  χαρτιού και ενώσουμε τις μεγάλες άκρες της , φτιάχνοντας με αυτόν τον τρόπο έναν κύλινδρο. Στην συνέχεια χρειάζεται να κάνουμε το ταχυδακτυλουρικό σε μια ανώτερη διάσταση. Αυτό που κάνουμε είναι ότι εισάγουμε το ένα άκρο του κυλίνδρου στο σώμα του,(χωρίς αυτό να κοπεί!!!) και ενώνουμε τα δύο άκρα της . Ένα από τα πολλά θαυμαστά αυτής της φιάλης , πέρα από τις ενδιαφέρουσες τοπολογικές της ιδιότητες , είναι ότι δεν μπορεί ποτέ να γεμίσει , αφού αρχίζει να αδειάζει καθώς γεμίζει. Τέλος αν μπορούσαμε να κόψουμε την φιάλη του Klein στο πλάι τότε θα προέκυπτε η ταινία του Moebius, δείτε το παρακάτω video το οποίο είναι άκρως κατατοπιστικό.
(Πηγή : Παιχνίδια ευφυϊας , De AGOSTINI )

ΔΕΙΤΕ ΕΔΩ ΠΩΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΦΙΑΛΗ CLEIN

ΑΥΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΩΡΑ!

ΦΤΙΑΞΤΕ ΚΙ ΕΣΕΙΣ ΤΩΡΑ ΣΧΕΔΙΑ ΜΕ ΤΗ ΛΩΡΙΔΑ ΤΟΥ MOBIOUS ΑΚΟΛΟΥΘΩΝΤΑΣ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΟΥ ΠΗΡΑΤΕ ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΜΑΘΗΜΑ!