Μάθημα : 🧮

Κύκλος ( Circles)

Κύκλος Εφαπτομένη Τέμνουσα ( Lines In Circles)

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΣΤ Α

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΣΤ Β

Στην ενότητα Β.1.13. χρειάζεται

να φέρετε:

γνώμονα, διαβήτη, 

μολύβι και σβήστρα.

Θεωρία: σελίδα  193

Ανακεφαλαίωση: σελίδες 195, 196

Εφαρμογές: 1, 2, 3 σελίδα 193

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5   σελίδα 194

(σελίδα 355) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

28 ασκήσεις σωστού ή λάθους (σελίδα 198)

(σελίδα 364) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

Πότε μια ευθεία είναι

εφαπτόμενη του κύκλου;

Από το κέντρο Ο 

του κύκλου (Ο, ρ)

σχεδιάζω μια ακτίνα ΟΑ.

Στο σημείο Α της ακτίνας ΟΑ

σχεδιάζω κάθετη ευθεία ε.

Η ευθεία ε λέγεται 

εφαπτόμενη του κύκλου (Ο, ρ)

στο σημείο Α του κύκλου.

Υπάρχει ακριβώς μία

και μόνο μία

εφαπτόμενη ευθεία 

του κύκλου στο σημείο Α του κύκλου.

Το σημείο Α λέγεται 

σημείο επαφής του κύκλου (Ο, ρ)

με την εφαπτόμενη ευθεία ε.

Η εφαπτόμενη είναι κάθετη 

με την ακτίνα 

στο σημείο επαφής.

Η εφαπτόμενη έχει

ένα κοινό σημείο  

με τον κύκλο. 

Η απόσταση του κέντρου Ο

του κύκλου (Ο, ρ)

από την ευθεία ε

που εφάπτεται του κύκλου 

στο σημείο επαφής Α

είναι ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ

που είναι κάθετο στην ε

και είναι και ακτίνα του κύκλου 

και άρα το μήκος του είναι ίσο 

με την ακτίνα ρ του κύκλου.

Άρα η εφαπτόμενη του κύκλου απέχει 

από το κέντρο του κύκλου 

απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου.

Πώς λέγεται μια ευθεία που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με έναν κύκλο 

(ως προς τον κύκλο αυτό);

Εξωτερική.

Πώς λέγεται μια ευθεία που έχει

ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο 

(ως προς τον κύκλο αυτό);

Εφαπτόμενη.

Πώς λέγεται μια ευθεία που έχει

δύο κοινά σημεία με έναν κύκλο 

(ως προς τον κύκλο αυτό);

Τέμνουσα.

Πόσα το πολύ κοινά σημεία 

μπορεί να έχει μια ευθεία 

με έναν κύκλο;

Δύο.

Πόσα το λιγότερα κοινά σημεία 

μπορεί να έχει μια ευθεία 

με έναν κύκλο;

Μηδέν.

Πώς ονομάζεται

σε σχέση με έναν κύκλο

μια ευθεία 

που έχει 2 κοινά σημεία με τον κύκλο; 

Τέμνουσα του κύκλου.

Πώς ονομάζεται

σε σχέση με έναν κύκλο

μια ευθεία 

που δεν έχει κοινά σημεία

με τον κύκλο; 

Εξωτερική του κύκλου.

Πώς ονομάζεται

σε σχέση με έναν κύκλο

μια ευθεία 

που έχει 1 κοινό σημείο με τον κύκλο; 

Εφαπτόμενη του κύκλου.

(10 κλικ 600 λέξεις)

Εφαρμογή (διαδραστική) για να κατασκευάσετε την εφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του κύκλου.

Γενικές οδηγίες (geogebra):

Στο πάνω μέρος υπάρχουν 8 κουμπιά. (Συνήθως δε θα τα χρειαζόμαστε όλα σε αυτά που θα σας λέω εγώ.)

Όταν πατάμε ένα κουμπί το πλαίσιό του γίνεται μπλε.

Σε μερικά από τα 8 κουμπιά όταν τα πατάμε εμφανίζονται επιλογές και διαλέγουμε ποια να επιλέξουμε με κλικ πάνω της.

Όταν πατάμε ένα από τα 8 κουμπιά και εμφανίζεται μόνο μια επιλογή από κάτω τους,

δε χρειάζεται να κάνουμε κλικ στην μοναδική επιλογή που εμφανίζεται κάτω από το κουμπί (αλλά και να κάνουμε κλικ στην μοναδική επιλογή που εμφανίζεται δεν πειράζει).

Πολλές φορές προσέχω πολύ πριν κάνω κλικ να βλέπω ότι ο δείκτης του ποντικιού έχει γίνει χεράκι.

Πάνω δεξιά δύο κυρτά βελάκια μας παν μια κίνηση πίσω ή μπροστά σε αυτά που σχεδιάζουμε,

αν π.χ. κάνουμε ένα λάθος σχεδιασμό και θέλουμε να γυρίσουμε ένα βήμα πίσω.

Κάτω από τα κυρτά βελάκια υπάρχουν δύο ακόμα κυρτά βελάκια που σχηματίζουν κύκλο και όταν τα πατάμε φεύγουν όλα όσα σχεδιάσαμε.

Θα ονομάσουμε αυτά που θα χρειαστούμε:

Το πρώτο από αριστερά κουμπί με το βελάκι θα το λέμε ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ.

Το δεύτερο από αριστερά κουμπί με το σημείο Α θα το λέμε ΣΗΜΕΙΟ.

Το τρίτο από αριστερά κουμπί με τις 3 επιλογές (ευθεία - ευθύγραμμο τμήμα - ημιευθεία) θα το λέμε ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ.

Το τέταρτο από αριστερά κουμπί θα το λέμε ΚΑΘΕΤΗ ΓΡΑΜΜΗ.

Το πέμπτο από αριστερά κουμπί με τις 2 επιλογές θα το λέμε ΚΥΚΛΟΣ.

Βήμα 1:

(Σκοπός: Σχεδιάστε ένα κύκλο με κέντρο που διέρχεται από ένα σημείο.)

Στο κουμπί ΚΥΚΛΟΣ κάνω κλικ στην επιλογή "Κύκλος με κέντρο που διέρχεται από ένα σημείο".

Τοποθετώ το δείκτη του ποντικιού κεντρικά στο διάγραμμα με τα τετραγωνάκια.

Κάνω ένα πρώτο κλικ στο διάγραμμα (εκεί που θέλω να είναι το κέντρο του κύκλου που θα σχεδιάσω).

Εμφανίζεται ένα σημείο (πρώτη τελεία) στο διάγραμμα (που θα είναι το κέντρο του κύκλου που θα σχεδιάσω).

Σύρω το ποντίκι για να εμφανιστεί η περιφέρεια του κύκλου και πατάω το δεύτερο κλικ για να ολοκληρωθεί η κατασκευή του κύκλου (παρατηρώ ότι με το δεύτερο κλικ που έκανα εμφανίστηκε ένα δεύτερο σημείο (δεύτερη τελεία) στην περιφέρεια του κύκλου.

Βήμα 2:

(Σκοπός: Σχεδιάστε την ακτίνα ΟΑ.)

Στο κουμπί ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ κάνω κλικ στην επιλογή "ευθύγραμμο τμήμα".

Κάνω ένα πρώτο κλικ στο σημείο που είναι το κέντρο του κύκλου (πριν κάνω κλικ ο δείκτης του ποντικιού να έχει γίνει χεράκι)

σύρω το ποντίκι

κάνω ένα δεύτερο κλικ στο σημείο που είναι στην περιφέρεια του κύκλου (πριν κάνω κλικ ο δείκτης του ποντικιού να έχει γίνει χεράκι).

Εμφανίζεται η ακτίνα.

Βήμα 3:

(Σκοπός: Σχεδιάστε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο της περιφέρειας του κύκλου.)

α΄ τρόπος (πιο δύσκολος)

Επιλέγω το κουμπί ΚΑΘΕΤΗ ΓΡΑΜΜΗ.

Σύρω το ποντίκι ώσπου να φτάσει τόσο κοντά στην ακτίνα όσο χρειάζεται ώσπου ο δείκτης του ποντικιού να γίνει χεράκι.

Κάνω ένα πρώτο κλικ στην ακτίνα (πριν κάνω κλικ ο δείκτης του ποντικιού να έχει γίνει χεράκι).

Εμφανίζεται η κάθετη ευθεία στην ακτίνα.

Σύρω το ποντίκι ώσπου η κάθετη ευθεία να φτάσει να διέρχεται από το σημείο της περιφέρειας του κύκλου.

Κάνω ένα δεύτερο κλικ στο σημείο της περιφέρειας του κύκλου (πριν κάνω κλικ ο δείκτης του ποντικιού να έχει γίνει χεράκι).

β΄ τρόπος (πιο εύκολος)

Επιλέγω το κουμπί ΚΑΘΕΤΗ ΓΡΑΜΜΗ.

Σύρω το ποντίκι ώσπου να φτάσει τόσο κοντά στο σημείο της περιφέρειας του κύκλου όσο χρειάζεται

ώσπου ο δείκτης του ποντικιού να γίνει χεράκι.

Κάνω ένα διπλό κλικ στο σημείο της περιφέρειας του κύκλου.

Βήμα 4:

(Σκοπός: παρατήρηση του σχήματος.)

Επιλέγω το κουμπί ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ.

Αλλάζω το μήκος της ακτίνας.

Μετακινώ το κέντρο του κύκλου.

Μετακινώ το σημείο της περιφέρειας του κύκλου.

Εφαρμογή (διαδραστική) που δείχνει την απόσταση του κέντρου ενός κύκλου από μια ευθεία.

Εφαρμογή (διαδραστική) για την κατασκευή 2 εφαπτομένων ενός κύκλου στα άκρα μιας χορδής του.

Interactive. Tangent line to circles. Εφαρμογή (διαδραστική) για να δείτε μια κοινή (είτε εξωτερική είτε εσωτερική) εφαπτόμενη δύο κύκλων.

Θεωρήματα που ισχύουν σε κύκλους. Circle Theorems Song

Καθήκοντα

1η ώρα

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ

Καθήκοντα

2η ώρα

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΣΤ Α

Καθήκοντα

3η ώρα 

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΣΤ Β