Μάθημα : 🧮

 

 

Απόσταση 2 γραμμών. (Distance Between Two Parallel Lines )

 

Σημείο Τομής (Points Of Intersection )

 

ευθείες, Lines. 

 

Παράλληλες γραμμές. Parallel Lines

 

Κάθετες ευθείες. (Vertical Lines )

 

 

 

 

 

 

Parallel, Perpendicular (κάθετες) & Intersecting (τεμνόμενες) Lines Song

 

 

B.1.9. Θέματα τεστ.(1)

B.1.9. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(1)

 

 

 

Στην ενότητα Β.1.9. χρειάζεται

να φέρετε:

Γνώμονα,

μολύβι και σβήστρα.

 

 

Θεωρία: σελίδες 180, 181.

Δραστηριότητες: 1, 2, σελίδα 180.

Εφαρμογή: 1 (2ος τρόπος)  σελίδα 181.

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, σελίδα 183.

(σελίδα 326) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες όταν είναι συνεπίπεδες και δεν τέμνονται.

 

 

 

Δύο διαφορετικές ευθείες

που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο

μπορούν

να είναι παράλληλες

ή

να τέμνονται.

 

 

Δύο ευθείες που ταυτίζονται δεν θεωρούνται παράλληλες.

 

Πώς συμβολίζουμε ότι 

η ευθεία ε₁ είναι παράλληλη

με την ευθεία ε₂;

ε₁  / /  ε₂

 (και όχι ε₁ \ \ ε₂)

 

Πόσα το λιγότερα κοινά σημεία 

μπορεί να έχουν δύο ευθείες;

Μηδέν.

 

Πόσα κοινά σημεία έχουν

δύο ευθείες που τέμνονται;

Ένα.

 

 

 

Πόσες παράλληλες 

μπορούμε να φέρουμε

από ένα σημείο Α

που δεν βρίσκεται σε μια ευθεία ε

προς την ευθεία ε;

Ακριβώς μία

 

Δύο ευθείες ε και λ

είναι κάθετες σε μια ευθεία ζ.

Μπορούμε να ξέρουμε με σιγουριά

ότι κάποιες από τις ευθείες αυτές 

είναι παράλληλες;

Ναι.
ε//λ

 

 

Η ευθεία ε είναι κάθετη στην ευθεία β.

Η ευθεία β είναι κάθετη στην ευθεία δ.

Μπορούμε να ξέρουμε με σιγουριά

ότι κάποιες από τις ευθείες αυτές 

είναι παράλληλες;

Ναι.
ε//δ

 

 

 

Σε ένα παραλληλόγραμμο ABCD

ποιες πλευρές είναι παράλληλες;

AB//CD

BC//DA

 

 

 

Σε ένα παραλληλόγραμμο ABDC

ποιες πλευρές είναι παράλληλες;

AB//DC

BD//CA

 

 

 

Σε ένα τρίγωνο ABC

ποιες πλευρές είναι παράλληλες;

Το τρίγωνο δεν έχει παράλληλες πλευρές.

 

 

 

4 ευθείες ΑΒ, ΤΡ, ΔΣ, ε.

Ποιες είναι παράλληλες;

Δεν ξέρω.

 

 

 

Τι θα πει η έκφραση:

3 ευθείες (ε₁, ε₂, ε₃) τέμνονται ανά δύο.

Οποιεσδήποτε δύο από τις 3 ευθείες

τέμνονται μεταξύ τους.

Η ε₁ με την ε₂ τέμνονται (π.χ. στο σημείο Γ).

Η ε₁ με την ε₃ τέμνονται (π.χ. στο σημείο Β).

Η ε₃ με την ε₂ τέμνονται (π.χ. στο σημείο Α).

Όχι όμως να τέμνονται ανά τρεις

στο ίδιο σημείο.

Ούτε φυσικά να είναι παράλληλες 

κάποιες από αυτές.

Τα κεφαλαία γράμματα Δ και Α 

είναι η τέλεια  απεικόνιση 

τριών ευθειών που τέμνονται ανά δύο.

 

 

Ποιο κεφάλαιο γράμμα απεικονίζει 

τρεις ευθείες

που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

και οποιεσδήποτε δύο από αυτές δεν έχουν κοινό σημείο 

(δηλαδή δεν τέμνονται);

Ξ

 

Ποιο κεφάλαιο γράμμα απεικονίζει 

τρεις ευθείες

που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

και διέρχονται και οι τρεις από το ίδιο σημείο

(δηλαδή που έχουν ένα κοινό σημείο);

Υ

 

Ποια κεφαλαία γράμματα

απεικονίζουν δύο ευθείες

που είναι κάθετες 

σε μια τρίτη ευθεία;

Η και Π.

 

 

 

Το σύμβολο // το βάζουμε ανάμεσα σε δύο ευθείες όταν 100% είναι παράλληλες αυτές οι δύο ευθείες.

 

Τι λέμε για δύο ευθείες που γνωρίζουμε ότι έχουν δύο κοινά σημεία;

Λέμε ότι ταυτίζονται. Όλα τους τα σημεία είναι κοινά.

 

 

 

Δύο ευθείες που ταυτίζονται

δεν θεωρούνται παράλληλες.

 

 

 

Πόσα κοινά σημεία έχουν

δύο ευθείες που ταυτίζονται;

Άπειρα (όλα τους τα σημεία είναι κοινά).

 

 

 

Τονίζω ευθείες για να τις βλέπουμε

σαν ευθείες

και όχι σαν ευθύγραμμα τμήματα.

 

Όταν σε άσκηση διαβάζετε "η ΑΒ" 

θα καταλαβαίνετε η ευθεία ΑΒ

και όχι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

(Θα μπορούσε να είναι και η ημιευθεία ΑΒ).

 

Το σύμβολο κάθετες το βάζουμε όταν 100% είναι κάθετες οι ευθείες

και όχι όταν μοιάζουν κάθετες

αλλά δεν είμαστε 100% σίγουροι ότι είναι κάθετες.

 

 

 

Εφαρρμογή 2. Διαδραστική εφαρμογή σε πλήρη οθόνη. Μετακίνησε όπως θες τις 2 ευθείες που είναι κάθετες στην τρίτη και δε θα τέμνονται ποτέ. Δύο ευθείες που είναι κάθετες σε τρίτη είναι μεταξύ τους παράλληλες. 

 

 

 

Διαδραστική κατασκευή παράλληλων και κάθετων γραμμών. Μόλις γίνει κίτρινη η γραμμή που σχεδιάζεται είναι σωστή. Reset zoom level 200%.

 

 

 

Άσκηση 1: 7 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με σχήματα(english).

 

 

 

Άσκηση 2: 4 διαδραστικές ερωτήσεις με σχήματα.

 

 

 

Άσκηση 3: 3 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με σχήματα και 2 διαδραστικές ερωτήσεις με σχήματα.

 

 

 

Άσκηση 4: 20 απλές ερωτήσεις αντίληψης (yes-no) με σχήματα αλλά χωρίς σύμβολα ορθής γωνίας. Start. Εμείς βέβαια ποτέ στις ασκήσεις μας δε θα κρίνουμε 2 ευθείες ως κάθετες ή ως παράλληλες επειδή απλά φαίνονται κάθετες ή παράλληλες αντίστοιχα. Ας κάνουμε μια εξαίρεση για αυτήν την άσκηση. Πώς σας φαίνονται οι ευθείες; Παράλληλες; Τεμνόμενες; Κάθετες;

 

 

Άσκηση 5: 10 (yes or no) ερωτήσεις αντίληψης με σχήματα αλλά χωρίς σύμβολα ορθής γωνίας. Εμείς βέβαια ποτέ στις ασκήσεις μας δε θα κρίνουμε 2 ευθείες ως κάθετες ή ως παράλληλες επειδή απλά φαίνονται κάθετες ή παράλληλες αντίστοιχα. Ας κάνουμε μια εξαίρεση και για αυτήν την άσκηση. Πώς σας φαίνονται οι ευθείες; Παράλληλες; Τεμνόμενες; Κάθετες;

 

Άσκηση 6: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 7+1! ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Απορία στην εφαρμογή: 1 (2ος τρόπος) σελίδα 181.

 

Εξηγώ ένα ένα τα 5 βήματα που βλέπεις στις 5 εικόνες (σαν φιλμ).

Η εφαρμογή μου ζητάει: από ένα σημείο Α να κάνω ευθεία ε₁ παράλληλη προς ευθεία ε. (Νούμερο 1 στο φιλμ) 

Κάνω από το Α μια ευθεία κάθετη στην ε. Το όνομα της είναι ευθεία ΒΑ (ή αλλιώς ευθεία ΑΒ). (Νούμερο 2 στο φιλμ)

Στο σημείο Α της ευθείας ΒΑ φέρνω κάθετη ευθεία ε_1.  Δηλαδή ευθεία ε₁ κάθετη στην ευθεία ΒΑ. (Νούμερο 3 στο φιλμ) 

Προεκτείνω την ε₁. (Νούμερο 4 στο φιλμ) 

Σβήνω την ευθεία ΑΒ. (Γενικά δε σβήνουμε ευθείες. Το κάνει απλά για να φαίνεται καλύτερα.) (Νούμερο 5 στο φιλμ.) 

Αφού η ε και η ε₁ είναι κάθετες και οι δύο στην ΑΒ (που έσβησαν στο 5 του φιλμ) άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες. 

 

 

 

Μετάφραση

distance: απόσταση

grid: τετραγωνισμένο πλαίσιο

intersecting lines: τεμνόμενες ευθείες

intersecting line segments : τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα

line: γραμμή

none of the above: τίποτα από τα παραπάνω

parallel lines: παράλληλες γραμμές

parallel line segments : παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα

perpendicular: κάθετη

point: σημείο

point of intersection: σημείο τομής

segment: τμήμα

straight : ευθεία

x-axis: άξονας x

y-axis: άξονας y

 

 

 

The slope of a line can be calculated by the formula:
slope = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁),
where (x₁, y₁) and (x₂, y₂) are the coordinates
of two points of the line
on a coordinate plane.
Slope is calculated by
the change of y divided by the change in x.
Slope is "rise over run".
Two lines are parallel if their slopes are equal
and they have different y-intercepts.
A line extends forever in both directions.

 

 

For two lines to be perpendicular the slopes m₁ , m₂ must be such that: m₁ · m₂ = –1

For two lines to be parallel the slopes m₁ , m₂ must be such that: m₁ = m₂

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα

 

B.1.9. Θέματα τεστ.(1)

 

 

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

Πώς συμβολίζονται δύο παράλληλες ευθείες ε₁ και ε₂;

 

Να σχεδιάσετε ένα ρόμβο AΤDΡ.

Ποιες πλευρές είναι παράλληλες; 

 

Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο AΤΔΚ

με βάσεις ΤΔ και ΚΑ.

Ποιες πλευρές είναι παράλληλες; 

 

 

Να βρείτε σε μία αίθουσα

δύο ευθείες που δεν είναι παράλληλες και δεν τέμνονται.

 

 

Πόσα κοινά σημεία έχουν

δύο παράλληλες ευθείες;

 

 

Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΚΤΖ

με ορθή γωνία Ζ.

Από το Ζ να σχεδιάσετε ευθεία ΖΡ

που να είναι παράλληλη

στην υποτείνουσα του 

ορθογωνίου τριγώνου.

 

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

 

 

 

Πόσα κοινά σημεία έχουν

δύο ευθείες που ταυτίζονται;

 

 

 

Πώς συμβολίζονται

τέσσερεις  παράλληλες ευθείες

ε₁ , ε₂ , ε₃ , ε₄;