Μάθημα : 🧮

 

Right triangle, with the right angle shown via a small square

Why (historically) a right angle is denoted by an arc and a dot?

The symbol for a measured angle, an arc, with a dot, is used in some European countries, including German-speaking countries and Poland, as an alternative symbol for a right angle.

 

 

Είδη γωνιών. Types of Angles

 

Κάθετες ευθείες. (Vertical Lines )

 

 

ύψος ενός τριγώνου ( Heights (Altitudes) )

 

 

Απόσταση 2 σημείων. 2 Points DISTANCE

 

Απόσταση 2 γραμμών. (Distance Between Two Parallel Lines )

 

Απόσταση σημείου από ευθεία. (Distance from a Point to a Line)

 

 

 

 

 

 

Angles Song | Acute, Obtuse, & Right  

 

 

B.1.6. Θέματα τεστ.(1)

 

B.1.6. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(1)

 

 

B.1.6. Θέματα τεστ.(2)

 

 

 

Στην ενότητα Β.1.6. χρειάζεται

να φέρετε:

Γνώμονα,

μοιρογνωμόνιο, χάρακα, 

μολύβι και σβήστρα.

 

 

 

Θεωρία: σελίδες 170, 171.

Εφαρμογές: 3, 4  σελίδα 172.

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 6, 8 σελίδα 172.

(σελίδα 306) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

Επιπλέον εφαρμογή: σελίδα 219.

 

Κατασκευή μη κυρτής γωνίας:

1ος τρόπος (βίντεο):

Κατασκευή γωνίας 230 μοιρών.

2ος τρόπος:

Αν θες

να σχεδιάσεις γωνία

πάνω από 180^ο μοίρες

και κάτω από 360^ο

δηλαδή μη κυρτή 

π.χ. 300^ο

τότε κάνε την γωνία 

360^ο-αυτήν που θες 

πχ 

360^ο-300^ο

δηλαδή την 60^ο

και αντί να βάλεις την καμπύλη της γωνίας στην 60^ο
βάλε την καμπύλη  στην μη κυρτή 

(στην υπόλοιπη)

στην 300^ο.

 

Απορία μαθητή.

Πώς σχεδιάζω μια μη κυρτή γωνία 330 μοιρών;

Αφού 360-330=30 άρα:

Σχεδίασε μια γωνία 30 μοιρών

αλλά βάλε την μικρή καμπύλη

που σχεδιάζουμε

στο εσωτερικό της γωνίας

από τη μία πλευρά ως την άλλη,

απέξω από τη γωνία 30 μοιρών

δηλαδή στις 330 μοίρες.

Έτσι σχεδιάζεις την μη κυρτή γωνία

330 μοιρών.

 

Με μοιρογνωμόνιο σχεδιάζεις γωνιές

από 0 ως 180 μοίρες.

Το κομμάτι του επιπέδου

έξω από τη γωνία

είναι μια μη κυρτή γωνία.

 

 

 

 

Ορθή προβολή ή ίχνος ενός σημείου σε μια ευθεία ονομάζεται το σημείο τομής της ευθείας με την κάθετη προς αυτήν που διέρχεται από το σημείο.

 

 

 

Αν η γωνία χ είναι ορθή τότε τι

ισχύει για το χ;

χ = 90^o

 

 

 

Αν η γωνία χ είναι ευθεία τότε τι

ισχύει για το χ;

χ = 180^o

 

 

Αν η γωνία χ είναι μηδενική τότε

τι ισχύει για το χ;

χ = 0^o

Αν η γωνία χ είναι πλήρης τότε

τι ισχύει για το χ;

χ = 360^o

 

 

 

Αν η γωνία χ είναι οξεία τότε τι

ισχύει για το χ;

0^ο < χ < 90^o

Αν η γωνία χ είναι αμβλεία τότε

τι ισχύει για το χ;

90^ο < χ < 180^o

 

 

 

Αν η γωνία χ είναι μη κυρτή τότε

τι ισχύει για το χ;

180^ο < χ < 360^o

 

Τοποθέτησε τις παρακάτω ονομασίες γωνιών, σε φθίνουσα σειρά μεγέθους του μέτρου τους: Ορθή - Ευθεία - Πλήρης - Αμβλεία - Μηδενική - Μη κυρτή - Οξεία.
Πλήρης, Μη κυρτή, Ευθεία, Αμβλεία, Ορθή, Οξεία, Μηδενική.

 

 

 

Πώς μπορούμε να ξεχωρίσουμε

πότε μια γωνία είναι μηδενική

και πότε πλήρης

όταν είναι σχεδιασμένη?

Στη μηδενική γωνία

δεν κάνεις την καμπύλη της γωνίας

ενώ στην πλήρη γωνία

κάνεις

την καμπύλη της γωνίας

και είναι ολόκληρος κύκλος.

 

 

 

Μικρότερη είναι

μία μη κυρτή γωνία

ή

μία αμβλεία γωνία;

Μία αμβλεία γωνία.

 

Τι κοινό έχουν οι πλευρές της μηδενικής γωνίας;

Η μία βρίσκεται ακριβώς

εκεί που βρίσκεται και η άλλη. 

Δηλαδή ταυτίζονται.

 

 

 

Τι κοινό έχουν οι πλευρές της πλήρους γωνίας;

Η μία βρίσκεται ακριβώς

εκεί που βρίσκεται και η άλλη. 

Δηλαδή ταυτίζονται.

 

 

 

Τι είναι μεταξύ τους 

οι πλευρές 

μιας ορθής γωνίας;

Κάθετες.

 

 

 

Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών 

που χωρίζεται μια ορθή γωνία

από τη διχοτόμο της;

Η διχοτόμος μιας ορθής γωνίας

χωρίζει την ορθή γωνία 

σε δύο ίσες γωνίες 45^ο.

 

Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών 

που χωρίζεται μια ευθεία γωνία

από τη διχοτόμο της;

Η διχοτόμος μιας ευθείας γωνίας

χωρίζει την ευθεία γωνία 

σε δύο ίσες ορθές γωνίες (90^ο).

 

 

 

Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών 

που χωρίζεται μια πλήρης γωνία

από τη διχοτόμο της;

Η διχοτόμος μιας πλήρους γωνίας

χωρίζει την πλήρη  γωνία 

σε δύο ίσες ευθείες γωνίες (180^ο).

 

 

 

Τι χαρακτηρίζει τις 2 ημιευθείες

που είναι πλευρές 

μιας ευθείας γωνίας;

Είναι αντικείμενες ημιευθείες.

 

 

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας ευθείας γωνίας;

Ορθές.

 

 

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας ορθής γωνίας;

Οξείες γωνίες ίσες με 45^o.

 

 

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας πλήρους γωνίας;

Ευθείες γωνίες.

 

 

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας αμβλείας γωνίας;

Οξείες γωνίες ίσες μεταξύ τους.

 

 

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας οξείας γωνίας;

Οξείες γωνίες ίσες μεταξύ τους.

 

Τι είναι οι δύο γωνιές που προκύπτουν

από τη διχοτόμηση 

μιας μηδενικής γωνίας;

Δύο μηδενικές γωνίες ίσες μεταξύ τους.

 

 

 

Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΚΛ

στο παρακάτω σχήμα:

Είναι κάθετα; Ναι (Αφού έχουν κάθετους φορείς, δηλαδή βρίσκονται σε κάθετες ευθείες.)

Είναι τεμνόμενα; Όχι. Δεν έχουν σημείο τομής.

Α

Ι

Β

 

                 Κ _____________ Λ

 

 

 

Άσκηση 1 στο διαδίκτυο: Να βρείτε αν η γωνία είναι ευθεία (straight), αμβλεία (obtuse), ορθή (right) ή οξεία (acute).

 

 

 

Άσκηση 2: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Άσκηση 3: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 8+2 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής για τις μη κυρτές γωνίες  (κάποιες με σχήματα).

 

Άσκηση 4: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής για τις αμβλείες γωνίες  (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Άσκηση 5: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής για τις οξείες γωνίες (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Άσκηση 6: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής για τις ορθές γωνίες (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Άσκηση 7: Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής για τις ευθείες γωνίες (κάποιες με σχήματα).

 

 

 

Πόσες μοίρες είναι τα 5/3 μιας ορθής;

(5/3) · 90 =

(5·90) / 3 =

450 / 3 =

150

Άρα τα 5/3 μιας ορθής

δηλαδή των 90^ο

είναι 150^ο.

 

 

 

Όταν λέμε ότι 

"το άθροισμα των γωνιών 

ενός τριγώνου 

είναι ίσο με δύο ορθές"

τι εννοούμε;

2·90^ο=
180^ο

Το άθροισμα των γωνιών 

ενός τριγώνου 

είναι ίσο με δύο ορθές,

δηλαδή με 180^ο.

 

 

 

Μπορεί μια γωνία ενός τριγώνου

να είναι μηδενική;

Όχι. Γιατί τότε οι 3 πλευρές του τριγώνου δεν θα ήταν διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα.

 

 

 

Translation

acute angle: οξεία γωνία

0<οξεία γωνία<90

 

 

 

angle: γωνία

 

 

 

obtuse angle: αμβλεία γωνία (greater than 90 degrees and less than 180 degrees)

 

 

reflex angle: μη κυρτή γωνία

 

 

right angle: ορθή γωνία

 

 

 

straight : ευθεία

 

 

 

vertex: κορυφή

 

 

 

Απορία:

Η γωνία 180^ο είναι κυρτή;

 

 

 

 

 

 

How can line segments that don't meet be perpendicular?

If you extend them you obtain perpendicular lines.

 

 

 

For two lines to be perpendicular the slopes m₁ , m₂ must be such that: m₁ · m₂ = –1

For two lines to be parallel the slopes m₁ , m₂ must be such that: m₁ = m₂

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα

 

 

1) Αν η γωνία χ είναι ορθή τότε τι ισχύει για το χ;  Να σχεδιάσετε μια γωνία 90°.

 

 

 

2) Αν η γωνία χ είναι αμβλεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 178°.

 

 

 

3) Αν η γωνία χ είναι μηδενική τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 0°.

 

 

 

4) Αν η γωνία χ είναι πλήρης τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 360°.

 

 

5) Αν η γωνία χ είναι οξεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 38°.

 

 

 

6) Αν η γωνία χ είναι ευθεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 180°.

 

 

 

7) Αν η γωνία χ είναι μη κυρτή τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια γωνία 188°.

 

 

 

8) Τοποθέτησε τις παρακάτω ονομασίες γωνιών, σε φθίνουσα σειρά μεγέθους του μέτρου τους: Ορθή - Ευθεία - Πλήρης - Αμβλεία - Μηδενική - Μη κυρτή - Οξεία.

 

 

 

9) Να σχεδιάσετε μια γωνία 108°.

 

 

 

10) Να σχεδιάσετε μια γωνία 252°.

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

 

 

1) Αν η γωνία χ είναι πλήρης τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια πλήρης γωνία τΟτ.

 

 

 

2) Αν η γωνία χ είναι αμβλεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια αμβλεία γωνία τΟψ.

 

 

 

3) Αν η γωνία χ είναι μη κυρτή τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια μη κυρτή γωνία τΟΞ.

 

 

 

4) Αν η γωνία χ είναι ορθή τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια ορθή γωνία ΔΟΗ.

 

 

 

5) Αν η γωνία χ είναι οξεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια οξεία γωνία τΟψ.

 

 

 

6) Αν η γωνία χ είναι ευθεία τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια ευθεία γωνία αΟβ.

 

 

 

7) Αν η γωνία χ είναι μηδενική τότε τι ισχύει για το χ; Να σχεδιάσετε μια μηδενική γωνία ψΟψ.

 

 

 

8) Τοποθέτησε τις παρακάτω ονομασίες γωνιών, σε αύξουσα σειρά μεγέθους του μέτρου τους: Ορθή - Ευθεία - Πλήρης - Αμβλεία - Μηδενική - Μη κυρτή - Οξεία.

 

 

  

9) Να σχεδιάσετε μια γωνία 148°.

 

 

 

10) Να σχεδιάσετε μια γωνία 212°.

 

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα

 

 

 

1) Να σχεδιάσετε μια πλήρης γωνία τΟΣ.

 

 

 

2) Να σχεδιάσετε μια αμβλεία γωνία τΟψ.

 

 

 

3) Να σχεδιάσετε μια μη κυρτή γωνία τΟΞ.

 

 

 

4) Να σχεδιάσετε μια ορθή γωνία ΔΟΗ.

 

 

 

5) Να σχεδιάσετε μια οξεία γωνία τΟψ.

 

 

 

6) Να σχεδιάσετε μια ευθεία γωνία αΟβ.

 

 

 

7) Να σχεδιάσετε μια μηδενική γωνία ΑΟΩ.

 

 

 

Ένας στους 1.000 μαθητές  μπορεί άραγε να βρει την απάντηση;

Στην άσκηση που ζητάει "να σχεδιάσετε τα ύψη ενός τριγώνου", 

μόνο  μια μαθήτρια από τους 100, με τη βοήθεια του πατέρα της,

έκανε 3 τρίγωνα (ορθογώνιο, οξυγώνιο, αμβλυγώνιο), δηλαδή διέκρινε 3 περιπτώσεις.