Μάθημα : Μαθηματικά Γ' Λυκείου Κατεύθυνσης

\[f(x)\ = \ \sqrt{x}\]

Για μια συνάρτηση f ισχύει f '(χ) = (χ - 2)² e^χ . Τότε η C_f στο σημείο (2 , f(2)) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

Η συνάρτηση f(x) = α^χ , α > 0 , είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (α^χ)' = χα^χ-1

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε ισχύει \[(f\ (f(x)))'\ = \ {(f'(x))}^{2}\]

Αν το άθροισμα f + g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ₀ , τότε και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο χ₀.

Η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα, έχει εφαπτομένη στο (χ₀,f(x₀)).

Οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(χ) = χ²_, g(χ) = χ² + 3 , h(χ) = χ² - 20 στα σημεία τομής τους με την ευθεία χ = χ₀, είναι παράλληλες.

Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα, έχει παράγωγο στο x₀ = 0.

Αν f '(χ) = 3χ², τότε ισχύει πάντα f(χ) = χ³.

Ισχύει \( \frac{dc}{dx}= 0 \), όπου c σταθερά και x ∈ R.

Για μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R ισχύει :

1. αν η f είναι άρτια, τότε η f' είναι περιττή.
2. αν η f είναι περιττή, τότε η f' είναι άρτια.
3. αν η f είναι περιοδική, τότε η f' είναι περιοδική με την ίδια περίοδο.

Αν f(x) = χ⁴, τότε υπάρχουν σημεία της C_f με παράλληλες εφαπτόμενες.

Αν υπάρχει η (f + g)'(χ₀) τότε υπάρχουν και οι f'(χ₀) και g'(x₀).

Η κλίση της f(x) = χ⁶ είναι διαφορετική σε κάθε σημείο της.

Σε κάθε σημείο της \[f(x)\ = \ x^{3}\ ,\ x\ \neq \ 0\] αντιστοιχεί ένα δεύτερο σημείο με την ίδια κλίση.

Η κλίση της εφαπτόμενης της f(χ) = 3χ - 2 στο χ₀ = -1 είναι ίση με 3.

Αν η συνάρτηση f-g είναι παραγωγίσιμη στο χ₀ , τότε και οι δύο συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο χ₀.

Ισχύει  \[(\log\ x)'\ = \frac{1}{x}\] , για κάθε χ > 0.

Είναι \(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^{x_{0} + \Delta x} - e^{x_{0}}}{\Delta x} =f'(χ_{0})\) όπου f(x) = e^x.

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο χ₀ , τότε η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτόμενη στο σημείο Α (χ₀ , f(χ₀)) με συντελεστή διεύθυνσης \[\lambda\ = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0})}{h}\]

Αν οι συναρτήσεις f + g και f είναι παραγωγίσιμες στο  \(x_0\), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) .

Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R ισχύει f(χ) > 0 για κάθε \(x \in \ R\), τότε \[\left( \sqrt{f\left( \chi \right)} \right)^{'} = \frac{1}{2\sqrt{f\left( \chi \right)}}\]

Αν \(f(x)\ = \frac{1}{g(x)}\) , τότε  \(f'(\chi)\ = \frac{1}{g'(x)}\) .

Για κάθε συνάρτηση f με \(x_{0} \in D_{f}\)  , ισχύει  \[\lbrack f(x_{0})\rbrack'\ = \ 0\]
.

Αν f(x) = g(χ) για κάθε x ∈ (α,β) και f παραγωγίσιμη στο (α , β) τότε, η g είναι παραγωγίσιμη στο (α , β) και f '(χ) = g'(x) για κάθε x ∈ (α,β)..

Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε x \(\in\) R τότε και η f '(χ) είναι συνεχής συνάρτηση για κάθε x  \(\in\) R.

Αν  \(f,g:\ \Delta\ \rightarrow R\), Δ διάστημα και το  \(x_{0} \in\) Δ ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0} \) και η g να μην είναι παραγωγίσιμη στο \(x_{0} \) τότε, η f + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο  \(x_{0} \).

Αν f(x) = χ^χ ,χ > 0 τότε f'(χ) = χ^χ(1 + lnχ) , χ > 0 .

Αν ο αριθμός  \(x_0\)είναι διπλή ρίζα της πολυωνυμικής συνάρτησης f(χ) τότε το \(x_0\) είναι ρίζα της f '(χ).

Αν f,g: Δ →R, Δ διάστημα και x₀∈ Δ ώστε οι συναρτήσεις f , g να μην είναι παραγωγίσιμες στο x₀ τότε, η f + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο x₀ .

Αν f παραγωγίσιμη στο χ₀ και η g δεν παραγωγίζεται στο f(χ₀) τότε η gof δεν παραγωγίζεται στο χ₀. 

Αν f(χ) = e^x τότε f ''(χ) + f⁽³⁾ (χ) = 2f(χ).

Αν  f,g: Δ →R, Δ διάστημα και  x₀ ∈  Δ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο x₀, f(x₀)\(\neq 0\) και \(f\ \cdot \ g\) παραγωγίσιμη στο x₀ τότε, η g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ .

Η συνάρτηση \[f(\chi) = \ \sqrt{1\ - \ \chi}\]
 είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

Η συνάρτηση \(f(χ) = (1/2)^x\) είναι παραγωγίσιμη στο R με \(f'(x) = (1/2)^x ln2 \).

Αν f: R → R παραγωγίσιμη τότε η συνάρτηση g(x) = f²(χ) -ημf(χ) είναι παραγωγίσιμη.

Η συνάρτηση  \(f(x) =x^\frac{1}{x} , x > 0 \) είναι παραγωγίσιμη στο 1 με f '(1) = 1.

Αν f: R→ R παραγωγίσιμη με  f'(ημχ) = συνχ  , τότε   (f(ημχ))' = συν²χ  .

Αν \( f(x) = ln(x^2 +1) \) τότε, \(f '(0) = 1\)

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x₀  , τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C, στο σημείο της (χο ,f(χο)).

Η συνάρτηση f(χ) = -χ² , για όλα τα χ < 0 δέχεται εφαπτόμενες με θετικό συντελεστή διεύθυνσης.

Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο x₀  , θα πρέπει να ισχύει : f '(x₀) = g'(x₀)

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει \[f\ '(2)\ = \ \sqrt{3}\]
:  , τότε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(2 , f(2)), σχηματίζει με τον άξονα y'y γωνία  60^o

Για να εφάπτεται η C_f στον άξονα χ'χ θα πρέπει  f(x₀) = 0 και f’(x₀) > 0 .