Μάθημα : ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΘΕΩΡΙΑ)

Αναλογικό μέγεθος ονομάζεται ένα μέγεθος που μπορεί να πάρει οποιαδήπο
τε τιμή σε μία περιοχή τιμών. Για παράδειγμα, αναλογικά μεγέθη είναι: η ταχύτητα
ενός αυτοκινήτου, η θερμοκρασία ενός δωματίου, το βάρος ενός ανθρώπου, το
ύψος ενός δένδρου. Έτσι, κατά την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου από 0 χλμ/ώρα
(αρχική ταχύτητα) έως 100 χλμ/ώρα (τελική ταχύτητα), η ταχύτητά του λαμβάνει
όλες τις δυνατές τιμές στο διάστημα από 0 χλμ/ώρα έως 100 χλμ/ώρα (άπειρο
πλήθος τιμών).

Ψηφιακό μέγεθος ονομάζεται το μέγεθος που μπορεί να πάρει συγκεκριμένες
(διακριτές) τιμές σε μία περιοχή τιμών. Για παράδειγμα, ψηφιακά μεγέθη είναι: το
πλήθος των ″φάουλ″ ενός παίκτη μπάσκετ κατά τη διάρκεια ενός αγώνα, οι βαθμοί
μίας ομάδας ποδοσφαίρου κατά τη διάρκεια του πρωταθλήματος. Έτσι, κατά τη
διάρκεια ενός αγώνα μπάσκετ, ένας παίκτης μπορεί να κάνει 1, 2, 3, 4 ή 5 ″φάουλ″
(καθορισμένο πλήθος διακριτών τιμών).

Δυαδικό μέγεθος είναι ένα ψηφιακό μέγεθος που μπορεί να πάρει μόνο δύο
(2) διακριτές τιμές. Για παράδειγμα, δυαδικά μεγέθη είναι: η λογική πρόταση ″σήμε
ρα βρέχει″ (η λογική πρόταση μπορεί να είναι αληθής (TRUE) αν πράγματι βρέχει
ή ψευδής (FALSE) αν δεν βρέχει), η κατάσταση ενός λαμπτήρα (ο λαμπτήρας
μπορεί να είναι αναμμένος (ΟΝ) ή σβηστός (OFF)), η κατάσταση ενός διακόπτη

Η Άλγεβρα Boole (Boolean algebra) πήρε το όνομά της από τον G. Boole
(1815-1864), ο οποίος ανέπτυξε ένα αλγεβρικό σύστημα (1854) για τη συστημα
τική αντιμετώπιση της λογικής. Τα αξιώματα της Άλγεβρας Boole διατυπώθηκαν
από τον Ε. V. Huntington (1904).
Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στην Αλγεβρα Boole ονομάζονται λογικές
μεταβλητές γιατί μπορούν να πάρουν δύο (2) μόνο τιμές: 0 και 1. Αυτός είναι ο
λόγος που η Αλγεβρα Boole αποτελεί τη βάση για τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυ
κλώματα.
Στην Αλγεβρα Boole ορίζονται τρεις βασικές πράξεις:
F η πράξη NOT (ΟΧΙ) με σύμβολο
F η πράξη AND (ΚΑΙ) με σύμβολο •
F η πράξη OR (Ή) με σύμβολο +

Στην πράξη NOT συμμετέχει μία μόνο λογική μεταβλητή και το αποτέλεσμα
της πράξης είναι το συμπλήρωμα της μεταβλητής αυτής, δηλαδή αν η μεταβλητή

έχει την τιμή ″0″, τότε το αποτέλεσμα είναι ″1″ και αντίστροφα αν η μεταβλητή
έχει την τιμή ″1″, τότε το αποτέλεσμα είναι ″0″.
Αν Α είναι μία λογική μεταβλητή, τότε η πράξη NOT
εκφράζεται με τη σχέση:
Α Υ=A

Στην πράξη AND συμμετέχουν δύο λογικές μεταβλη
τές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι ″1″, αν και οι δύο
μεταβλητές είναι ″1″.
Αν Α και Β είναι δύο λογικές μεταβλητές, τότε η πράξη AND εκφράζεται με τη σχέση:
Υ=Α·Β

Στην πράξη OR συμμετέχουν δύο λογικές μεταβλη
τές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι ″1″, αν τουλάχι
στον μία από τις δύο μεταβλητές είναι ″1″.
Αν Α και Β είναι δύο λογικές μεταβλητές, τότε η πράξη OR εκφράζεται με τη σχέση:
Υ=Α+Β

Για την εκτέλεση των πράξεων στις εκφράσεις της Άλγεβρας Boole είναι ανάγκη να καθορισθεί η προτεραιότητα της εκτέλεσής τους, όπως γίνεται στην γνωστήαπό τα μαθηματικά άλγεβρα.
Προτεραιότηταπράξεων
Προτεραιότητα Πράξη
1 ( )
2 NOT
3 AND
4 OR

Από τον Πίνακα προτεραιότητας των πράξεων
προκύπτει ότι σε μία έκφραση της Άλγεβρας Boole
εκτελούνται πρώτα οι πράξεις μέσα σε παρενθέσεις, μετά υπολογίζονται τα συμπληρώματα, στην
συνέχεια εκτελούνται οι πράξεις AND και τέλος εκτελούνται οι πράξεις OR.

Η πύλη NAND προκύπτει από μία πύλη AND ακολουθούμενη από μία πύλη NOT.

Η πύλη NAND έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι ″1″, αν τουλάχιστον μίααπό τις δύο εισόδους είναι ″0″.

Η πύλη NOR προκύπτει από μία πύλη OR ακολουθούμενη από μία πύλη NOT.

Η πύλη NOR έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι ″1″, αν και οι δύο είσοδοι είναι ″0″.

Η πύλη XOR (exclusive OR) έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι ″1″, αν οι δύο είσοδοι είναι διαφορετικές μεταξύ τους (για αυτό ονομάζεται και πύλη διαφωνίας ή σύγκρισης).

Η πύλη XNOR (exclusive NOR) έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι ″1″, αν οι δύο είσοδοι είναι ίσες.

Οι πύλες δύο εισόδων μπορούν να επεκταθούν ώστε να έχουν περισσότερες
από δύο εισόδους, εάν οι πράξεις τους έχουν την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα.

Για παράδειγμα, μία πύλη AND τριών εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες AND δύο εισόδων.

Με την ίδια λογική, μία πύλη OR τριών εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες OR δύο εισόδων.

Η πύλη NAND τριών εισόδων ορίζεται ως το συμπλήρωμα της πύλης AND
τριών εισόδων. Επομένως, η έξοδος της πύλης NAND τριών εισόδων είναι ″1″, αν
τουλάχιστον μία από τις τρεις εισόδους είναι ″0″.

Με την ίδια λογική, μία πύλη NOR τριών εισόδων δεν μπορεί να υλοποιηθεί
χρησιμοποιώντας δύο πύλες NOR δύο εισόδων.

Η λογική της επέκτασης του πλήθους των εισόδων των πυλών, μπορεί να
εφαρμοστεί και για πύλες τεσσάρων εισόδων.
Για παράδειγμα, μία πύλη AND τεσσάρων εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τρεις πύλες AND δύο εισόδων και μία πύλη OR τεσσάρων εισόδωνμπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τρεις πύλες OR δύο εισόδων.

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα (integrated circuits) είναι συστατικά στοιχεία
των ψηφιακών κυκλωμάτων. Ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα είναι ένας ημιαγωγός
κρύσταλλος από πυρίτιο (chip) που περιέχει ηλεκτρονικά στοιχεία με τα οποία
κατασκευάζονται οι πύλες. To chip τοποθετείται σε ένα πλαστικό περίβλημα και
συγκολλούνται επαφές σε εξωτερικούς ακροδέκτες (pins) για να σχηματιστεί το
ολοκληρωμένο κύκλωμα.

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα ανήκουν σε μία Κλίμακα Ολοκλήρωσης (Scale
Integration) ανάλογα με το πλήθος των ισοδύναμων με πύλες κυκλωμάτων που
περιέχουν. Έτσι, τα ολοκληρωμένα κυκλώματα ανήκουν σε μία από τις ακόλουθες
κατηγορίες:

SSI (Small Scale Integration) περιλαμβάνει λιγότερα από 12 ισοδύναμα με
μία πύλη κυκλώματα.

MSI (Medium Scale Integration) περιλαμβάνει 12-100 ισοδύναμα με μία πύ-
λη κυκλώματα.

LSI (Large Scale Integration) περιλαμβάνει 100-1000 ισοδύναμα με μία πύ-
λη κυκλώματα.

VLSI (Very Large Scale Integration) περιλαμβάνει περισσότερα 1000
100000 ισοδύναμα με μία πύλη κυκλώματα.

ULSI (Ultra Large Scale Integration) περιλαμβάνει περισσότερα από
100000 ισοδύναμα με μία πύλη κυκλώματα.

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα αναγνωρίζουν στις εισόδους τους ηλεκτρικές τάσεις, στις οποίες αντιστοιχούν οι λογικές τιμές ″0″ ή ″1″. Επίσης, στις εξόδους τους δίνουν ηλεκτρικές τάσεις που αντιστοιχούν στις λογικές τιμές ″0″ ή ″1″.
Στην πράξη όμως δεν είναι δυνατόν να έχουμε απόλυτα ακριβείς τιμές τάσεων.
Αυτό συμβαίνει για διάφορους λόγους, όπως διακυμάνσεις της τάσης τροφοδοσίας, επίδραση της θερμοκρασίας και των θορύβων στη λειτουργία των κυκλωμάτων
και επίδραση του φορτίου στην τάση εξόδου. Για το λόγο αυτό ορίζονται δύο περιοχές τάσης, η μία που αντιστοιχεί στο λογικό ″1″ και η άλλη που αντιστοιχεί στολογικό ″0″. Ανάμεσα τους υπάρχει μία περιοχή που τις ξεχωρίζει. Μία τιμή τάσηςπου βρίσκεται σε αυτή δεν μπορεί να θεωρηθεί από το κύκλωμα ούτε ως λογικό ″0″ούτε ως λογικό ″1″ και έτσι η συμπεριφορά του ολοκληρωμένου είναι απρόβλεπτη.
Οι περιοχές των τάσεων αναφέρονται στα φύλλα δεδομένων (Data Sheets) τωνκατασκευαστών. Για παράδειγμα, το ολοκληρωμένο κύκλωμα 7400 αναγνωρίζειστις εισόδους του ως λογικό ″0″ την περιοχή τάσεων από 0 Volts μέχρι 0.8 Voltsκαι ως λογικό ″1″ την περιοχή τάσεων από 2 Volts μέχρι 5 Volts. Οι αποδεκτές τιμές για τις τάσεις εξόδου του είναι από 0 Volts μέχρι 0.4 Volts για λογικό ″0″ και από 2.7 Volts μέχρι 5 Volts για λογικό ″1″.

Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία (τους αριθμούς 0-9), έχει βάση
το 10 και η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (το βάρος των θέσεων
υπολογίζεται από την αντίστοιχη δύναμη του 10).
Για παράδειγμα, ο αριθμός 5832 του δεκαδικού συστήματος παριστάνει μία
ποσότητα που είναι ίση με 5 χιλιάδες συν 8 εκατοντάδες συν 3 δεκάδες συν 2 μονάδες.

Το δυαδικό σύστημα έχει βάση τον αριθμό 2. Επομένως, χρησιμοποιεί τα ψηφία
0 και 1. Κάθε δυαδικός αριθμός παριστάνεται από μία σειρά από τέτοια ψηφία
που ονομάζονται δυαδικά ψηφία (bits). Από τις θέσεις των ψηφίων προκύπτουν
τα βάρη τους (οι αντίστοιχες δυνάμεις του 2). Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι
το Περισσότερο Σημαντικό Δυαδικό Ψηφίο (Most Significant Bit - MSB), γιατί έχει την
μεγαλύτερη αξία, ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το Λιγότερο Σημαντικό Δυαδικό Ψηφίο
(Least Significant Bit - LSB), γιατί έχει την μικρότερη αξία.