Μάθημα : 🧮

 

 

Στρογγυλοποίηση (Rounding Numbers)

 

N Φυσικοί Z Ακέραιοι Q ρητοί R Πραγματικοί αριθμοί

 

N Φυσικοί Ν Natural numbers

 

Άρτιοι αριθμοί Even Numbers

 

Περιττοί αριθμοί Odd Numbers

 

Αριθμογραμμή ( number line)   

 

Σύγκριση Ακέραιων (Comparing Integers)

 

Integers  Z Ακέραιοι 

 

 

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A1

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A1

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A2

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A2

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A3

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A3

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ Α4

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α4

 

 

 

Ενότητα Α.1.1.

Εφαρμογή 

Ασκήσεις 3, 4, 5, 7, 8, 9

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Τιμές smart tv 55'' έως 400 €

σε αύξουσα σειρά:

373, 377, 385, 389, 395.

 

Βαθμολογίες σε φθίνουσα σειρά

καταλυμάτων προς ενοικίαση

που απέχουν έως 3 km

από το Astérix Park:

9,4 > 8,9 > 7,2

 

 

 

Να τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά: 4, -3, 0, -8

-8, -3, 0, 4

 

 

Να τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά: -256, 457, -5, -88, 136,18

-256, -88, -5, 18, 136, 457

 

 

 

Να τοποθετηθούν σε φθίνουσα σειρά: -3, 0, 5, -25, 36, -1, 7

36, 7, 5, 0, -1, -3, -25

 

 

 

Να τοποθετηθούν σε φθίνουσα σειρά: 78, -57, -94

78, -57, -94

 

 

 

0

Μηδέν

 

 

Ο

Όμικρον κεφαλαίο

 

Τα 24 γράμματα περιμένω να τα βλέπω στο τετράδιο σας κάπως έτσι:

α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω,

και το σίγμα τελικό ς.

Παρομοίως για τα κεφαλαία.

Τους 10 μονοψήφιους αριθμούς περιμένω να τους βλέπω στο τετράδιο σας κάπως έτσι:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.

 

 

 

Το σύμβολο

(

διαβάζεται ανοίγω παρένθεση

 

Το σύμβολο

)

διαβάζεται κλείνω παρένθεση

 

Το σύμβολο

{

διαβάζεται ανοίγω άγκιστρο

 

Το σύμβολο

}

διαβάζεται κλείνω άγκιστρο

 

 

 

Οι Φυσικοί αριθμοί συμβολίζονται με το Ν
Ν={0,+1,+2,+3,...}

Οι Ακέραιοι αριθμοί συμβολίζονται με το Ζ

Ζ={ ... , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }

Άρτιοι αριθμοί

{ ... , -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6, ... }

 

Περιττοί αριθμοί

{ ... , -5, -3, -1, +1, +3, +5, ... }

Ποιος είναι ο όγδοος φυσικός αριθμός

μετά τον φυσικό αριθμό

που είναι ακριβώς πριν από το 6;

13

 

 

 

Ποιος μη θετικός αριθμός δεν είναι αρνητικός;

0

 

 

 

Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός

που βρίσκεται μεταξύ των αριθμών –6 και –2;

-5

 

 

 

Πόσοι ακέραιοι αριθμοί βρίσκονται μεταξύ του –3 και του 3;

Πέντε.

 

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος μη θετικός ακέραιος αριθμός;

0

 

 

 

Ποιος αρνητικός αριθμός είναι μη αρνητικός ;

Δεν υπάρχει.

 

 

 

 

Greater Than Less Than Song

 

 

+5 μεγαλύτερο του +3

+5>+3

 

-4 μικρότερο του -1

-4<-1

 

-3 μεγαλύτερο του -4

-3>-4

 

0 μεγαλύτερο του -2
0>-2

-8 μεγαλύτερο του -9

– 8 ˃ – 9

 

-8 μικρότερο του -4

 – 8 ˂ – 4

 

 

χ ≥ 5 

διαβάζεται  χ μεγαλύτερο ή ίσο του 5

 

 

Μεγαλύτερος ή ίσος του 5 

θα πει 

τουλάχιστον 5

ή αλλιώς 

δεν είναι μικρότερος του 5.

 

 

 

 

χ ≤ 7

διαβάζεται χ μικρότερο ή ίσο από το 7

 

 

 

Μικρότερος ή ίσος του 7

θα πει 

το πολύ 7

ή αλλιώς 

δεν είναι μεγαλύτερος του 7.

 

 

 

 

χ ≠ 7

διαβάζεται χ διαφορετικό από το 7

και επίσης διαβάζεται χ δεν είναι ίσο με το 7

 

 

Odd: περιττός (μονός) Even: άρτιος (ζυγός) Even and Odd Numbers Song - Rock 2 the Core - K-5 Math

Odd: περιττός (μονός) Even: άρτιος (ζυγός). Numberblocks- Odd Side Story

 

 

Από τους αριθμούς 1, 3, 5, 7

ποιοι είναι άρτιοι;

Κανένας

 

 

 

Ο επόμενος φυσικός αριθμός του +5 είναι το +6

Ο επόμενος φυσικός αριθμός του 0 είναι το +1

 

Ο επόμενος ακέραιος  αριθμός του -5 είναι το -4

 

Ο επόμενος ακέραιος  αριθμός του +5 είναι το +6

 

Ο επόμενος ακέραιος  αριθμός του -1 είναι το 0

 

Ο επόμενος περιττός ακέραιος αριθμός του -5

είναι το -3

 

Ο επόμενος περιττός ακέραιος αριθμός του +1

είναι το +3

Ο προηγούμενος φυσικός αριθμός ενός περιττού αριθμού είναι άρτιος αριθμός.

Ο επόμενος φυσικός αριθμός ενός περιττού αριθμού είναι άρτιος αριθμός.

 

Ο προηγούμενος φυσικός αριθμός ενός άρτιου αριθμού είναι περιττός αριθμός.

Ο επόμενος φυσικός αριθμός ενός άρτιου αριθμού είναι περιττός αριθμός.

 

Ο επόμενος περιττός ακέραιος αριθμός του περιττού ακεραίου αριθμού χ

είναι το χ+2

 

Ο προηγούμενος περιττός ακέραιος αριθμός του περιττού ακεραίου αριθμού χ

είναι το χ-2

 

Ο επόμενος άρτιος ακέραιος αριθμός του άρτιου ακεραίου αριθμού χ

είναι το χ+2

 

Οι δύο επόμενοι άρτιοι

φυσικοί αριθμοί

του άρτιου φυσικού αριθμού χ

είναι οι εξής:

χ+2 

χ+4

 

 

Ο προηγούμενος

άρτιος ακέραιος αριθμός

του άρτιου ακεραίου αριθμού χ

είναι το χ-2

 

Οι δύο επόμενοι φυσικοί αριθμοί του +5

είναι το +6 και το +7

 

Οι δύο προηγούμενοι φυσικοί αριθμοί του +15

είναι το +14 και το +13

 

Οι δύο επόμενοι ακέραιοι αριθμοί

του -25

είναι το -24 και το -23

Οι δύο προηγούμενοι ακέραιοι αριθμοί του -1

είναι το -2 και το -3

 

Οι δύο επόμενοι ακέραιοι αριθμοί του -1

είναι το 0 και το +1

 

 

Οι αριθμοί +3, +7, +5

σε αύξουσα σειρά:   +3, +5, +7

 

Οι αριθμοί +3, +7, +5

σε φθίνουσα  σειρά:   +7, +5, +3

 

Οι αριθμοί -3, -7, -5

σε αύξουσα σειρά:  

-7, -5, -3

 

Οι αριθμοί -3, -7, -5

σε φθίνουσα  σειρά:  

-3, -5, -7

 

Αύξουσα σειρά ακέραιων αριθμών 

-3<-2<-1<0<1<2<3

 

Φθίνουσα σειρά ακέραιων αριθμών 

3>2>1>0>-1>-2>-3

 

Σωστό στα μαθηματικά είναι να πούμε 

το σημείο 0 ή το σημείο Ο;

Το σημείο Ο (που παριστάνει το 0).

 

Γιατί λέμε το Ο αρχή σε μια αριθμογραμμή αφού η ευθεία γραμμή δεν έχει αρχή;

Το Ο παριστάνει το 0

και άλλα γράμματα παριστάνουν 

το 1, το 2, το 3 κτλ.

Η ευθεία δεν έχει αρχή 

αλλά εννοούμε ότι το Ο

που παριστάνει το 0

βρίσκεται στην αρχή των αριθμών

0. 1, 2, 3 κτλ 

και ακόμα και όταν στην αριθμογραμμή υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί αριστερά από το 0

πάλι θα λέμε το Ο αρχή,

(άλλα φυσικά όχι αρχή της ευθείας,

αφού η ευθεία δεν έχει αρχή).

Νομίζω θα ήταν καλύτερα να είχαμε βρει μια άλλη λέξη για το Ο και όχι τη λέξη αρχή.

 

 

 

Σε ευθεία οριζόντια αριθμογραμμή, οι αριθμοί στα δεξιά είναι μεγαλύτεροι.

Οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι από τους θετικούς.

 

Σε ευθεία κατακόρυφη αριθμογραμμή οι θετικοί αριθμοί βρίσκονται πάνω από το 0.

Σε μια ευθεία κατακόρυφη αριθμογραμμή, οι αρνητικοί αριθμοί βρίσκονται κάτω από το 0.

Σε μια κατακόρυφη αριθμογραμμή, οι αριθμοί αυξάνονται από κάτω προς τα πάνω.

Καθώς κοιτάζουμε προς τα πάνω σε μια κατακόρυφη αριθμογραμμή, οι τιμές των αριθμών αυξάνονται.

 

 

 

Το 0 δεν είναι θετικός αριθμός.

Το 0 δεν είναι αρνητικός αριθμός.

Έστω ω ένας θετικός αριθμός.

ω > 0

 

Έστω ρ ένας μη θετικός αριθμός.

ρ ≤ 0

 

 

Έστω χ ένας αρνητικός αριθμός.

χ < 0

 

Έστω ψ ένας μη αρνητικός αριθμός.

ψ ≥ 0

 

 

 

Ποιοι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι η ίσοι του 8;

Το 8 και το 9

 

 

 

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός; 
0

 

Ποιος είναι ο μικρότερος άρτιος φυσικός αριθμός; 
0

 

Ποιος είναι ο μικρότερος περιττός  φυσικός αριθμός; 
1

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος  φυσικός αριθμός; 
Δεν υπάρχει. Δε λέμε το συν άπειρο 

αφού το συν άπειρο δεν είναι κάποιος συγκεκριμένος αριθμός. Δεν μπορείς να πεις αυτά εδώ τα τετράδια είναι σε πλήθος συν άπειρο.

Έστω μια ευθεία χ'χ.

Τα χ' και χ στο όνομα της ευθείας 

δεν είναι σημεία

και δεν είναι κεφαλαία γράμματα.

Μπορούμε να θεωρήσουμε τα χ' και χ

σαν το μείον άπειρο

και το συν άπειρο αντίστοιχα.

Δεν είναι συγκεκριμένα σημεία

τα χ' και χ

και 

δεν είναι συγκεκριμένοι αριθμοί 

το μείον άπειρο

και το συν άπειρο.

Η ευθεία χ'χ έχει άπειρα σημεία 

και αν το κάθε σημείο της αντιστοιχεί 

σε έναν αριθμό 

δηλαδή αν είναι αριθμογραμμή 

τότε δεν υπάρχει σημείο για το

μείον άπειρο

και το συν άπειρο

αφού αν υπήρχε

σημείο για το συν άπειρο

τότε

ένα σημείο στα δεξιά του

θα ήταν μεγαλύτερο

από το συν άπειρο

κσι αυτό είναι αδύνατον.

Άρα είναι αδύνατον 

αυτό που υποθέσαμε.

Δηλαδή είναι αδύνατον

ένα σημείο της αριθμογραμμής

να αντιστοιχεί στο συν άπειρο

(εις άτοπον απαγωγή).

Δηλαδή δεν είναι αριθμός το συν άπειρο.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος  ακέραιος  αριθμός; 
Δεν υπάρχει 

 

 

Ποιος είναι ο μικρότερος  ακέραιος  αριθμός; 
Δεν υπάρχει.

Δε λέμε το πλην άπειρο 

αφού το πλην άπειρο δεν είναι κάποιος συγκεκριμένος αριθμός.

 

 

Ποιος είναι ο

μεγαλύτερος  

διψήφιος

άρτιος

ακέραιος  αριθμός; 
98

 

 

Ποιος είναι ο

μεγαλύτερος  

διψήφιος

περιττός

φυσικός  αριθμός; 
99

 

 

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, ακέραιος;  Δεν υπάρχει.

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, αρνητικός, ακέραιος; -1

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, περιττός, ακέραιος; Δεν υπάρχει.

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, αρνητικός, περιττός, ακέραιος; -1

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, άρτιος, ακέραιος; Δεν υπάρχει.

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, αρνητικός, άρτιος, ακέραιος; -2

 

 

 

 

 

 

Ποιες εκφράσεις περιγράφουν

τους φυσικούς αριθμούς 

0, 1, 2, 3;

Φυσικός αριθμός που είναι

μικρότερος ή ίσος του τρία.

(Φυσικός αριθμός που είναι

το πολύ 3)

Φυσικός αριθμός που είναι

μικρότερος του 4.

 

 

Ποιες εκφράσεις περιγράφουν

τους φυσικούς αριθμούς 

4, 5, 6, ...

Φυσικός αριθμός που είναι

μεγαλύτερος ή ίσος του 4.

(Φυσικός αριθμός που είναι

τουλάχιστον 4)

Φυσικός αριθμός που είναι

μεγαλύτερος του 3.

 

 

 

 

 

 

Να ξέρετε τα σύμβολα για τις εκφράσεις:

μεγαλύτερο ή ίσο       ≥

μικρότερο ή ίσο ≤

διαφορετικό (δεν είναι ίσο) ≠

 

 

 

Έστω χ ένας φυσικός αριθμός 

και χ ≤ 5

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο χ;

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

 

 

Έστω χ ένας φυσικός αριθμός 

και χ ≤ -2

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο χ;

Δεν υπάρχει τιμή

που να μπορεί να πάρει ο χ αφού

οι φυσικοί αριθμοί είναι 

μεγαλύτεροι ή ίσοι με το 0.

Μας λέει ο χ να είναι

μικρότερος ή ίσος του -2

άρα δεν υπάρχει κάποια τιμή 

που να μπορεί να πάρει ο χ.

Δε γίνεται συγχρόνως 

να είναι από 0 και πάνω 

και 

από -2 και κάτω.

 

 

Ποιοι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι μικρότεροι ή ίσοι του 8;

8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0

 

 

 

Ποιοι μονοψήφιοι, άρτιοι,

φυσικοί αριθμοί είναι

μικρότεροι του 8;

 6, 4, 2, 0

 

Έστω χ ένας μη μηδενικός αριθμός.

Τι ισχύει για το χ;

χ ≠ 0

 

 

Έστω χ ένας θετικός αριθμός.

Τι ισχύει για το χ;

χ > 0

 

 

 

Έστω χ ένας μη θετικός αριθμός.

Τι ισχύει για το χ;

χ ≤ 0

 

 

 

Έστω χ ένας μη αρνητικός αριθμός.

Τι ισχύει για το χ;

χ ≥ 0

 

 

Έστω χ ένας αρνητικός αριθμός.

Τι ισχύει για το χ;

χ < 0

 

 

 

 

 

 

Θυμίζω πως γράφονται οι αριθμοί 

σε έναν κατακόρυφο άξονα.

(Σα να βλέπετε ένα θερμόμετρο)
5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

 

 

Τι βλέπετε στον άξονα των αριθμών 7 μονάδες μακριά από το μείον ένα;

Το 6 και το –8.

 

 

 

Ποιο είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

που έχει άκρα το -7 και το 16;

4,5

 

 

 

 

 

 

Πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν

από το 0 μέχρι και το 20;

21 αριθμοί

(20 αριθμοί από το 1 ως το 20

και το 0 άλλος ένας αριθμός 

δηλαδή συνολικά 21 αριθμοί).

 

 

 

Πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν

από το 50 μέχρι και το 130;

81 αριθμοί

(80 αριθμοί από το 51 ως το 130

και το 50 άλλος ένας αριθμός 

δηλαδή συνολικά 81 αριθμοί)

 

 

 

Από τον φυσικό αριθμό α

μέχρι τον φυσικό αριθμό β

υπάρχουν

β-α+1

αριθμοί.

(Εννοείται α<β)

 

 

 

Number Climb. Play now. Start. Αύξουσα σειρά. Integers (Ακέραιοι).Click on the moving balls in ascending order. Choose integers before you begin.

 

 

 

Μποξ. Genius boxing.

> , < , = ,

+ , - , * , / 

 

 

 

Βίντεο  (προαιρετικά)

Number line and ordering.

 

 

Αριθμογραμμή 100, 200, … , 900

 

Σε αρκετές χώρες (και στα βίντεο στις playlists) όταν γράφουν δεκαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούν αντί για κόμμα τελεία και αντίστροφα π.χ.
1,000 χίλια ,
1.3 ένα τελεία τρία
ενώ στην Ελλάδα γράφουμε
1.000 χίλια

1,3 ένα κόμμα τρία

 

 

 Rounding Rap

 

Rounding Numbers Song

Place Value Song For Kids | Ones, Tens, & Hundreds | 1st - 3rd Grade

 

Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες

 

 

Τάξεις ψηφίων:

... , εκατοντάδες χιλιάδες ,δεκάδες χιλιάδες, μονάδες χιλιάδες, εκατοντάδες, δεκάδες, μονάδες,

(υποδιαστολή),

δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, δεκάκις χιλιοστά, εκατοντάκις χιλιοστά,...

 

 

Στρογγυλοποίηση στη Μονάδα

Προσδιορίζουμε τη τάξη

στην οποία θα γίνει

η στρογγυλοποίηση (μονάδες).

Εξετάζουμε το ψηφίο

της αμέσως μικρότερης τάξης (δέκατα).

1η περίπτωση:

Αν το ψηφίο των δεκάτων

είναι μικρότερο του 5 (0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4)

τότε όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά από το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης, 

δηλαδή τα ψηφία των μικρότερων τάξεων (δεκάτων, εκατοστών, χιλιοστών κ.τ.λ.)

μηδενίζονται.

2η περίπτωση:

Αν το ψηφίο των δεκάτων

είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9)

τότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης

δηλαδή το ψηφίο των μονάδων  

αυξάνεται κατά 1

και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων (δεκάτων, εκατοστών, χιλιοστών κ.τ.λ.) μηδενίζονται.

Αν στη 2η περίπτωση το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης είναι 9

δηλαδή αν το ψηφίο των μονάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

τότε κατά την στρογγυλοποίηση το ψηφίο των μονάδων γίνεται 0

και αυξάνεται κατά 1 το ψηφίο των δεκάδων.

Αν στη 2η περίπτωση και το ψηφίο των μονάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

και το ψηφίο των δεκάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

τότε κατά την στρογγυλοποίηση

το ψηφίο των μονάδων γίνεται 0

το ψηφίο των δεκάδων γίνεται 0

και αυξάνεται κατά 1 το ψηφίο από των εκατοντάδων

και ούτω καθεξής.

 

 

Στρογγυλοποίηση στη Δεκάδα

 

Για να στρογγυλοποιήσουμε

ένα φυσικό αριθμό

στη δεκάδα

κάνουμε τα εξής:

Προσδιορίζουμε τη τάξη

στην οποία θα γίνει

η στρογγυλοποίηση (δεκάδες).

Εξετάζουμε το ψηφίο

της αμέσως μικρότερης τάξης (μονάδες).

1η περίπτωση:

Αν το ψηφίο των μονάδων

είναι μικρότερο του 5 (0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4)

τότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης, δηλαδή των δεκάδων παραμένει όσο είναι

(και όλα τα ψηφία του αριθμού αριστερά από το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης παραμένουν όσο είναι)

και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων από το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης (μονάδων, δεκάτων, εκατοστών, χιλιοστών κ.τ.λ.)

μηδενίζονται.

2η περίπτωση:

Αν το ψηφίο των μονάδων

είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9)

τότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης

δηλαδή το ψηφίο των δεκάδων  

αυξάνεται κατά 1

και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων (μονάδων, δεκάτων, εκατοστών, χιλιοστών κ.τ.λ.) μηδενίζονται.

Αν στη 2η περίπτωση το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης είναι 9

δηλαδή αν το ψηφίο των δεκάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

τότε κατά την στρογγυλοποίηση το ψηφίο των δεκάδων γίνεται 0

και αυξάνεται κατά 1 το ψηφίο των εκατοντάδων.

Αν στη 2η περίπτωση και το ψηφίο των δεκάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

και το ψηφίο των εκατοντάδων πριν την στρογγυλοποίηση είναι το 9

τότε κατά την στρογγυλοποίηση

το ψηφίο των δεκάδων γίνεται 0

το ψηφίο των εκατοντάδων γίνεται 0

και αυξάνεται κατά 1 το ψηφίο των χιλιάδων

και ούτω καθεξής.

 

 

 

Έχω τον αριθμό 276 και θέλω να τον στρογγυλοποιήσω στη δεκάδα.
Σκέψη:

Το 276 έχει

2 εκατοντάδες

7 δεκάδες

6 μονάδες.

Βλέπω το δεξιά ψηφίο

των 7 δεκάδων στο 276

που είναι

το 6 των μονάδων.

Αφού το δεξιά ψηφίο των 7 δεκάδων,

είναι το 6

το οποίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, 

(δηλαδή ανήκει στους αριθμούς  5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9)

τότε

ο αριθμός των 7 δεκάδων,

 θα αυξηθεί κατά   1  και θα γίνει 8

και όλα τα δεξιά ψηφία 

από την τάξη στρογγυλοποίησης 

δηλαδή όλα τα δεξιά ψηφία από το 7 των δεκάδων 

θα γίνουν μηδέν.

Άρα το 276 στρογγυλοποιημένο 

στην πλησιέστερη δεκάδα 

γίνεται 280

 

 

Έχω τον αριθμό 283 και θέλω να τον στρογγυλοποιήσω στη δεκάδα.
Σκέψη:

Το 283 έχει

2 εκατοντάδες

8 δεκάδες

3 μονάδες.

Βλέπω το δεξιά ψηφίο

των 8 δεκάδων στο 283

που είναι

το 3 των μονάδων.

Αφού το δεξιά ψηφίο των 8 δεκάδων,

είναι το 3

το οποίο είναι μικρότερο  ή ίσο του 4, 

(δηλαδή ανήκει στους αριθμούς  4 ή 3 ή 2 ή 1 ή 0)

τότε

το ψηφίο  των 8 δεκάδων,

θα παραμείνει ίδιο,

δηλαδή 8

και όλα τα δεξιά ψηφία 

από την τάξη στρογγυλοποίησης 

θα γίνουν μηδέν.

 

Άρα το 283 στρογγυλοποιημένο 

στην δεκάδα 

γίνεται 280

 

Το 53 στρογγυλοποιημένο 

στην δεκάδα 

γίνεται 50

 

Το 53 στρογγυλοποιημένο 

στην μονάδα  

παραμένει 53

 

Το 53 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα 

γίνεται 100

 

Το 43 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα 

γίνεται 0

 

Το 953 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα 

γίνεται 1.000

 

Το 948 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα 

γίνεται 900

 

Το 98 στρογγυλοποιημένο 

στην μονάδα  

παραμένει 98

 

Το 98 στρογγυλοποιημένο 

στην δεκάδα  

γίνεται 100

Το 98 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα  

γίνεται 100

Το 98 στρογγυλοποιημένο 

στην χιλιάδα   

γίνεται 0

Το 291 στρογγυλοποιημένο 

στην δεκάδα

γίνεται 290

 

 

Το 86 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα  

γίνεται 100

 

 

Το 295 στρογγυλοποιημένο 

στην δεκάδα

γίνεται 300

 

 

 

Το 489 στρογγυλοποιημένο 

στην χιλιάδα   

γίνεται 0

 

Στρογγυλοποίηση του 17 

στην εικοσάδα;

Δεν ορίζεται στρογγυλοποίηση στην εικοσάδα.

 

 

 

 

7 ερωτήσεις: Κάποιες με σχήματα. Κάποιες πολλαπλής επιλογής.

 

 

4 ερωτήσεις: Κάποιες με σχήματα. Κάποιες πολλαπλής επιλογής.

 

 

4 ερωτήσεις: Κάποιες με σχήματα. Κάποιες πολλαπλής επιλογής.

 

Ποια είναι η πλησιέστερη δεκάδα του 35;

Δεν υπάρχει μία πλησιέστερη δεκάδα στο 35 αλλά δύο.

Και το 30 και το 40 απέχουν το ίδιο από το 35.

 

 

 

Ποια είναι η στρογγυλοποίηση του 35 στη δεκάδα;

40

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A1

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A2

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση ΘΕΜΑΤΑ A3

 

Μόνο 5% των μαθητών μπορούν

να συμπληρώσουν σωστά

και τα δύο νούμερα

στην παρακάτω άσκηση:

Στην στρογγυλοποίηση όταν το ψηφίο που ελέγχουμε είναι

πάνω από ...

στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω.

Δεν στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω

όταν το ψηφίο που ελέγχουμε είναι 

κάτω από ...

 

 

 

 

 

 

 

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση;

Το 43 στρογγυλοποιημένο 

στην εκατοντάδα 

γίνεται ...

Ακόμα και αν δώσεις σε μαθητές πρώτης γυμνασίου ένα φυλλάδιο με 20 επιμεριστικές ιδιότητες

(αφού προηγηθεί εξήγηση αποριών και λύση παραδειγμάτων στον πίνακα)

πχ 2(α-5) = ... και στην πίσω σελίδα να έχεις τις απαντήσεις αλλά τις πέντε πρώτες ακριβώς οπως είναι στο τεστ 

πχ 2(α-5)= 2α-10

και τις άλλες πέντε αντίστροφα 

κοκ

3α+3χ= 3(α+χ) δεν μπορούν πάνω από 1 στους 3 να τα λύσουν όλα!

Άλλοι θα τα αντιγράψουν λάθος ή δε θα δουν τις λύσεις. πχ 2α-5

και άλλοι χωρίς σκέψη θα αντιγράψουν τις λύσεις όπως είναι (το ίδιο και τα δυο μέλη)

3(α+χ)= 3(α+χ)

(και ειδικά αν χωρίς καμία σημασία κάποια είναι γραμμένα στις λύσεις με κόκκινο και κάποια με μαύρο αυτό τους μπερδεύει ακόμα περισσότερο)

Μάλιστα ένας είπε είναι λάθος οι λύσεις και άρχισαν και άλλοι να λένε : "είναι λάθος οι λύσεις"

το καλύτερο τους είναι να υπάρχει λάθος στις λύσεις ώστε να το παρατήσουν.

Εντυπωσιακό!!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αφαίρεση με το μυαλό 

63 - 45 =
βάζω το χέρι μου 

μπροστά από το 3 

60-40=20

20-5=15

βγάζω το χέρι μου 

μπροστά από το 3 

15+3=18

 

 

 

6,5*6,5=36,25

6,28*6,5=40,82

 

Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributive Property )

 

 

Επιμεριστική Ιδιότητα (Multiplying Binomials by Distributing - Expanding Double Brackets )

 

Κοινός Παράγοντας Παραγοντοποίηση Επιμεριστική Ιδιότητα (Factoring using the greatest common factor Distributive Property )

 

 

 

 

playlist    Πλήθος όρων

 

+ 0 - Άθροισμα. Πρόσημο. Integers. Adding Integers + 0 -

 

Πρόσθεση ρητών αριθμών Adding and Subtracting Integers

 

Γινόμενο Z           Multiplying Integers  

 

Διαίρεση Ακέραιων. Dividing Integers

 

Σύγκριση Ακέραιων (Comparing Integers)

 

Αριθμογραμμή ( number line)   

 

 

 

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α1

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

 

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

 

 

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α4

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α4

 

 

 

 

 

 

 

 

Ενότητα Α.1.2.

Ασκήσεις: 1, 2, 3, 4, 5

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Να υπολογίσετε το άθροισμα 

του 36 και του 75.

36+75=
111

 

6,8+7,36=
14,16

(λίγοι μαθητές το υπολογίσουν σωστά)

 

 

Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα (και να γράφετε αναλυτικά τις κάθετες προσθέσεις):

136,53+27,8+187,482 =351,812

177,6+29,37+197,482 =404,452

 

 

 

Να υπολογίσετε τις παρακάτω διαφορές (και να γράφετε αναλυτικά τις κάθετες αφαιρέσεις):

136,53-27,8 = 108,73

177,6-29,37 =148,23

 

 

 

Να υπολογίσετε το γινόμενο 

του 36 και του 75.

36·75=2.700

 

 

 

Να γράψετε σε μαθηματική μορφή

τη διαφορά του 3 από το 5.

5-3

 

 

 

Να γράψετε σε μαθηματική μορφή

τη διαφορά του 5 από το 3.

3-5

 

 

 

Να γράψετε σε μαθηματική μορφή

τη διαφορά του α από το β.

β-α

 

 

χ+χ=
2χ

 

 

 

χ+χ+χ=
3χ

 

 

 

χ-χ=
0χ=
0

 

 

χ 

χι (Ελληνικό μικρό)

 

 

x

εξ (Αγγλικό μικρό)

 

 

ψ

ψι (Ελληνικό μικρό)

 

 

Υ

Ύψιλον (Ελληνικό κεφαλαίο)

 

 

y  
γουάι (Αγγλικό μικρό)

 

 

4x3

4 εξ τρία 

 

 

 

4·3

4 επί 3

 

 

 

Σημείωση:

α1=
α·1=
1·α=
1α=
α

 

 

Σημείωση:

2(3)=
2·(3)=
6

 

Σημείωση:

1       4   =
14

 

 

 

 

 

 

Σημείωση:
4x3=
4·x·3=
4·3·x=
12x

 

 

Σημείωση:
4·3=
12

 

 

5+0=
5

 

 

4-0=
4

 

 

 

0+7=
7

 

 

0-9=
-9

 

 

 

α+0=
α

 

 

0+ξ=
ξ

 

 

Δ-0=
Δ

 

0-Σ=
-Σ

 

 

 

Επιμεριστική Ιδιότητα 

 

3(2+χ) =

6+3χ

 

5(3-β) =

15-5β

 

 

9(ψ-3) =   

9ψ-27

 

 

8(1+α) =     

 8+8α

 

 

4(α-β) =    

4α-4β

 

 

5 (600 – 2) =

5 · (600 – 2) =

5·600 - 5·2

 

4(2 + 4) =

8 + 16

 

 

 

a ( b + c ) =

a · ( b + c ) =

a · b + a · c =

a b + a c =
ab + ac

 

 

a ( b − c ) =

a b − a c

 

a(b–c)=

ab–ac

 

 

a(b+c)=

ab+ac

 

 

+(b–c)=

b–c

 

 

+1(b–c)=

b–c

 

 

+(b+c)=

b+c

 

 

+1(b+c)=

b+c

 

 

 

(a+b) (c-d) =
ac -ad +bc -bd

 

 

 

(a-b) (c+d) =
ac +ad -bc -bd

 

 

(2+b) (c-d) =
2c -2d +bc -bd

 

 

 

(2+b) (3-d) =
6 -2d +3b -bd

 

 

 

(α+β)(χ+ψ) =

 αχ+αψ+βχ+βψ    

 

 

 (2+χ)(3-α) =    

6-2α+3χ-χα     

 

 

(9+α)(β-8) = 

9β-72+αβ-8α

 

 

 

 (1+α)(β+1) =   

 β+1+αβ+α

 

 

 

 (χ+3)(2-β) =  

2χ-βχ+6-3β

 

 

 

 

7 · ( 7 + 5 + 8 ) =

49 + 35 + 56

 

 

 

5(3x + 7) =

5 · (3x + 7)=

5 · (3x) + 5 · (7) =

15x + 35

 

–1(b–c)=

–b+c

 

 

 

–(b–c)=

–b+c

 

 

 

–1(b+c)=

–b–c

 

 

 

–(b+c)=

–b–c

 

 

 

–3(2b–c)=

–6b+3c

 

 

 

–4(3+2c)=

–12–8c

 

 

 

-(4x - 3) =

-1(4x - 3) =

-1 · (4x - 3) =

-1 · (+4x - 3) =

-4x + 3

 

 

 

Όταν σε μια παράσταση μετά από έναν αριθμό ανοίγει παρένθεση

εννοείται μετά τον αριθμό και πριν την παρένθεση το επί

και κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα.

 

1ο παράδειγμα

7 ( 5 + 3 ) + 1 =

7· 5 + 7 · 3 + 1 =

35 + 21 + 1

 

 

2ο παράδειγμα

+ 7 ( 5 – 3 ) + 1 =

7· 5 – 7 · 3 + 1 =

35 – 21 + 1

 

Όροι αριθμητικής παράστασης.

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης            +3 +2

+3 , +2

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης            +5-2·3       

+5 , -2·3

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης            +1-3-2-5         
 +1 , -3 , -2 , -5

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης            +7·6·5·4·3·2·1         +7·6·5·4·3·2·1

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης            +χ-2                  
    χ , -2

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης                25 +15

+25 , +15

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης               10 – 5 – 8

+10 , –5 , –8

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης                -2+1

-2 , +1

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης                -2+α

-2 , +α

 

 

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης                2+3·χ

+2 , +3·χ

 

 

 

Όροι μέσα σε παρένθεση.

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 5 – 2 )

+5 , –2

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( + 4 – 3 )

+4 , –3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 7 + 3 )

+7 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: + ( 5 + 2 )

+5 , +2

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 4 – 9 )

–4 , –9

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 9 + 1 )

–9 , +1

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 41 – 32 )

+41 , –32

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 1 + 3 )

+1 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( 4 – 2 )

+4 , –2

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 2  –  4 )

+2 , –4

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 – 3 )

+1 , –3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 + 3 )

+1 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 451 + 3 )

+451 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 – ( 5 + 3 )

+5 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 – ( + 4 + 9 )

+4 , +9

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 + ( – 5 + 3 )

–5 , +3

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 + 9 )

–4 , +9

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 )

–4

 

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 + (– 8 + 1 – 4 + 7 )

–8 , +1 , –4 , +7

 

 

 

Παραγοντοποίηση
Βρίσκω τον κοινό παράγοντα των 2 όρων.
Μετατρέπω μια παράσταση που είναι άθροισμα σε γινόμενο.

3a-3b=
3(a-b)

 

 

4a+4b=
4(a+b)

 

 

2x-2y=
2(x-y)

 

 

7·18-7·4=

7⋅(18−4)

 

7·18-7·1=

7⋅(18-1)

 

 

3⋅7+3⋅2=
3(7+2)

 

 

3·8-3·17=

3⋅(8-17)

 

3⋅8−3⋅9=
3(8-9)

 

 

7⋅8−7⋅13=
7·(8-13)

 

 

 

7⋅16 - 7⋅13=
7·(16-13)

 

 

3·18-3·77=

3⋅(18−77)

 

 

 

Να γράψετε ως επιμεριστική ιδιότητα

την παράσταση    3 + 3χ

3(1+χ)

 

 

 

Να γράψετε ως επιμεριστική ιδιότητα

την παράσταση        5-5·ψ

5(1-ψ)

 

 

 

Να γράψετε ως επιμεριστική ιδιότητα

την παράσταση     3χ-3

3(χ-1)

 

 

 

Να γράψετε ως επιμεριστική ιδιότητα

την παράσταση          2+2ψ

2(1+ψ)

 

 

 

 

 

Να γράψετε ως επιμεριστική ιδιότητα

την παράσταση      2χ-2ψ

  2(χ-ψ)

 

 

 

6-2χ=
2(3-χ)

 

 

6+9χ=
3(2+3χ)

 

-49χ+7=+7(-7χ+1)=-7(+7χ-1)

 

 

 

 

Πρόσθεση στην αριθμογραμμή. Number Lines Song | Adding and Subtracting on a Number Line

 

Αεροπλάνο Αριθμογραμμή

 

 

Can't Stop Distributing (Can't Stop the Feeling Math Parody)

 

 

Distributive Property Song (3.OA.5)

Area Model Multiplication Song | Multiplying with Partial Products

 

 

 

Commutative, Associative, Distributive - Properties of Multiplication Song

The D Property - A song about the Distributive Property

 

The Properties of Multiplication Song | 3rd Grade - 4th Grade

 

 

Area and Perimeter Song For Kids | 3rd - 4th Grade

 

4 · ? = 20, Swimming Otters NUMBER OF PLAYERS: 4

 

 

Οι μισοί μαθητές της Α' Γυμνασίου 

δεν μπορούν να υπολογίσουν 

με σιγουριά με το μυαλό 

απλές αφαιρέσεις όπως 54-28

απλούς πολλαπλασιασμούς όπως 7·8

και γενικότερα απλές πράξεις.

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Καθήκοντα

2η ώρα 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Να υπολογίσετε το ημιάθροισμα 

του 6 και του 21.

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

 

Καθήκοντα

4η ώρα 

 

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών ΘΕΜΑΤΑ Α4

(-3) · (-2) = +6

μείον μείον συν

 

(+3) · (+2) = +6

συν συν συν

(-3) · (+2) = -6

μείον συν μείον

 

(+3) · (-2) = -6

συν μείον μείον

 

Γλωσσοδέτης από 12 λέξεις

(4 προτάσεις των τριών λέξεων,

που οι προτάσεις μεταξύ τους 

μπορούν να αλλάξουν θέση)

μείον συν μείον

μείον μείον συν

συν συν συν

συν μείον μείον

 

-3(-2+x)

 

-4(+5-x)

 

3(-5+x)

 

+39(-2+a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πρώτοι αριθμοί (Prime Numbers Factor Tree Prime Factorization)

 

Πρώτοι αριθμοί Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων (Prime Factorization)

 

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) (Least common multiple. Calculate the LCM. MathPrimary)

 

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor. Calculate the GCD. Greatest common factor. Calculate the GCF.)

 

 

Να βρείτε τους διαιρέτες του αριθμού. Πρώτοι αριθμοί.  

 

 

Μ.Κ.Δ. 2 αριθμών αναλυτικά.

 

 

 

 

Ενότητα Α.1.5.

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

 

 

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

 

 

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α4

 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α5

 

 

 

Εφαρμογές: 2, 3, 4

Ασκήσεις: 1, 2, 3, 7, 9, 12α

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

ο 1 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 6)

ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3)

ο 3 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 2)

ο 6 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 1)

 

 

ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 6

ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 3

ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2

ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 1

 

Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν το 6

(διαιρέτες του 6) είναι:

1, 2, 3, 6

 

 

Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού χ είναι μικρότεροι ή ίσοι του χ.

 

 

Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού χ δεν γίνεται να είναι  μεγαλύτεροι αριθμοί από  το χ.

 

 

 

Διαιρέτες του 1: 1

 

Διαιρέτες του 2: 1, 2

 

Διαιρέτες του 3: 1, 3

 

Διαιρέτες του 4: 1, 2, 4

 

Διαιρέτες του 5: 1, 5

 

Διαιρέτες του 6: 1, 2, 3, 6

 

Διαιρέτες του 7: 1, 7

 

Διαιρέτες του 8: 1, 2, 4, 8

 

Διαιρέτες του 9: 1, 3, 9

 

Διαιρέτες του 10: 1, 2, 5, 10

 

Διαιρέτες του 11: 1, 11

 

Διαιρέτες του 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

 

Διαιρέτες του 13: 1, 13

 

Διαιρέτες του 14: 1, 2, 7, 14

 

Διαιρέτες του 15: 1, 3, 5, 15

 

Διαιρέτες του 16: 1, 2, 4, 8, 16

 

Διαιρέτες του 17: 1, 17

 

Διαιρέτες του 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

 

Διαιρέτες του 19: 1, 19

 

Διαιρέτες του 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

 

Διαιρέτες του 21: 1, 3, 7, 21

 

Διαιρέτες του 22: 1, 2, 11, 22

 

Διαιρέτες του 23: 1, 23

 

Διαιρέτες του 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

Κοινοί διαιρετές του 8 του 12 και του 24 είναι: 1, 2, 4

 

 

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10 αν λήγει σε μηδέν.

 

 

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.

 

 

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.

 

 

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

 

 

 

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Το 123.456 διαιρείται με το 3

γιατί αν προσθέσω τα ψηφία 

1+2+3+4+5+6

το άθροισμα είναι 21 

και το 21 διαιρείται με το 3.

Άρα το 123.456 διαιρείται με το 3.

 

 

Το 123.456.789 διαιρείται με το 3

γιατί αν προσθέσω τα ψηφία  

1+2+3+4+5+6+7+8+9

το άθροισμα είναι 45

και αν προσθέσω τώρα 

τα ψηφία του 45

4+5

το άθροισμα είναι 9

και το 9 διαιρείται με το 3.

Άρα το 123.456.789 διαιρείται με το 3.

 

 

 

Δύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες.

Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β

και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).

 

 

ΜΚΔ (8, 12, 24) = 4

 

ΜΚΔ (4, 40) = 4

 

ΜΚΔ (40, 32, 24) = 8

 

ΜΚΔ (36, 96, 24) = 12

 

ΜΚΔ (3, 8) = 1

 

ΜΚΔ (30, 5) = 5

 

ΜΚΔ (18, 24) = 6

 

ΜΚΔ (8, 24) = 8

 

ΜΚΔ (3, 5) = 1

 

ΜΚΔ (15, 5) = 5

 

ΜΚΔ (2, 4, 8) = 2

 

ΜΚΔ (3, 2) = 1

 

ΜΚΔ (10, 5) = 5

 

ΜΚΔ (40, 12) = 4

 

ΜΚΔ (2, 3, 6) = 1

 

ΜΚΔ (6, 10) = 2

 

ΜΚΔ (18, 24) = 6

 

ΜΚΔ (10, 4) = 2

 

ΜΚΔ (15, 12) = 3

 

ΜΚΔ (4, 3) = 1

 

ΜΚΔ (1, 5) = 1

 

 

Ποιους δύο αριθμούς έχει διαιρέτες

κάθε φυσικός αριθμός α

που είναι μεγαλύτερος του 1;

Κάθε φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1,

έχει (τουλάχιστον) διαιρέτες  τους αριθμούς 1 και α.

 

 

Για να βρω το ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών

ελέγχω πρώτα τον μικρότερο από τους δύο

αν είναι διαιρέτης του άλλου

και αν δεν είναι τότε ψάχνω το ΜΚΔ

σε μικρότερους αριθμούς.

 

 

Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο μη μηδενικό φυσικό αριθμό.

 

 

Κάθε μη μηδενικός φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.

 

 

Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των αριθμών.

 

 

Κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6 είναι οι αριθμοί 12, 24, 36, ...

 

 

Το 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο φυσικός αριθμός 3 έτσι ώστε:

6 = 3 · 2

 

 

Πολλαπλάσια του 3:

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

 

Πολλαπλάσια του 4:

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, …

 

 

 

Όταν τα παιδιά παίζουν κρυφτό ακούγονται αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 5.

Δηλαδή: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...

 

 

Πολλαπλάσια του 6: 

0, 6, 12, 18, 24, 30, ...

 

 

Πολλαπλάσια του 12:

0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, ...

 

 

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο (ελάχιστο) από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.

 

ΕΚΠ (3, 9) = 9

 

ΕΚΠ (2, 3, 12) = 12

 

ΕΚΠ (4, 6, 12, 20) = 60

 

ΕΚΠ (4, 40) = 40

 

ΕΚΠ (1, 5) = 5

 

ΕΚΠ (2, 3) = 6

 

ΕΚΠ (3, 3) = 3

 

ΕΚΠ (4, 3) = 12

 

ΕΚΠ (5, 3) = 15

 

ΕΚΠ (12, 6) = 12

 

ΕΚΠ (15, 5) = 15

 

ΕΚΠ (18, 6) = 18

 

ΕΚΠ (12, 9) = 36

 

ΕΚΠ (8, 20) = 40

 

ΕΚΠ (3, 10) = 30

 

ΕΚΠ (8, 24) = 24

 

ΕΚΠ (3, 4, 4) = 12

 

ΕΚΠ (2, 4, 8) = 8

 

ΕΚΠ (3, 6, 27) = 54

 

ΕΚΠ (5, 10, 25) = 50

 

ΕΚΠ (3, 4, 2) = 12

 

ΕΚΠ (3, 5, 2) = 30

 

ΕΚΠ (8, 60) = 120

 

ΕΚΠ (5, 4, 6) = 60

 

 

Για να βρω το ΕΚΠ δύο φυσικών αριθμών

ελέγχω πρώτα τον μεγαλύτερο από τους δύο

αν είναι πολλαπλάσιο του άλλου

και αν δεν είναι τότε ψάχνω το ΕΚΠ

σε μεγαλύτερους αριθμούς.

 

 

Ποιο είναι το ΕΚΠ των παρονομαστών των κλασμάτων

τρία πέμπτα και έξι όγδοα;

ΕΚΠ(5, 8) = 40

 

 

 

Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος;

Ένας φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός.

 

 

 

Πότε ένας φυσικός αριθμός α λέγεται πρώτος;

Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται πρώτος όταν έχει μόνο δύο διαιρέτες. Το 1 και το α.

 

 

Πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97, ...

 

 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος άρτιος πρώτος αριθμός;

2

 

 

Ποιος είναι ο μικρότερος άρτιος πρώτος αριθμός;

2

 

 

Ποιος είναι ο μικρότερος περιττός πρώτος αριθμός;

3

 

 

Ποιοι είναι οι 6 μικρότεροι περιττοί πρώτοι αριθμοί;

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17.

 

 

Ποιοι είναι οι 3 μεγαλύτεροι μονοψήφιοι πρώτοι αριθμοί;

3, 5, 7.

 

 

Ποιοι διαιρέτες του 1 είναι πρώτοι αριθμοί; Δεν υπάρχουν.

 

Ποιοι διαιρέτες του 2 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.

 

Ποιοι διαιρέτες του 3 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3.

 

Ποιοι διαιρέτες του 4 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.

 

Ποιοι διαιρέτες του 5 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 5.

 

Ποιοι διαιρέτες του 6 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.

 

Ποιοι διαιρέτες του 7 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 7.

 

Ποιοι διαιρέτες του 8 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.

 

Ποιοι διαιρέτες του 9 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3.

 

Ποιοι διαιρέτες του 10 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 5.

 

Ποιοι διαιρέτες του 11 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 11.

 

Ποιοι διαιρέτες του 12 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.

 

Ποιοι διαιρέτες του 13 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 13.

 

Ποιοι διαιρέτες του 14 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 7.

 

Ποιοι διαιρέτες του 15 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3 και το 5. 

 

Ποιοι διαιρέτες του 16 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2.

 

Ποιοι διαιρέτες του 17 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 17.

 

Ποιοι διαιρέτες του 18 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.

 

Ποιοι διαιρέτες του 19 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 19.

 

Ποιοι διαιρέτες του 20 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 5.

 

Ποιοι διαιρέτες του 21 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 3 και το 7.

 

Ποιοι διαιρέτες του 22 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 11.

 

Ποιοι διαιρέτες του 23 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 23.

 

Ποιοι διαιρέτες του 24 είναι πρώτοι αριθμοί; Το 2 και το 3.

 

Πότε δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους ;

Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν ισχύει ΜΚΔ(α,β) = 1 .

 

 

Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Το μηδέν και το ένα δεν είναι σύνθετοι αριθμοί.

Το μηδέν σε κάποιες χώρες δεν θεωρείται φυσικός αριθμός.

 

 

Πότε ένας φυσικός αριθμός α λέγεται σύνθετος;

Ένας φυσικός αριθμός

μεγαλύτερος του 1

λέγεται σύνθετος

όταν έχει

έναν τουλάχιστον διαιρέτη

επιπλέον από το 1 και το α .

 

 

Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται σύνθετος όταν έχει παραπάνω από δύο διαιρέτες.

 

 

Ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1 λέγεται σύνθετος όταν έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες.

 

 

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

2=2¹

 

3=3¹

 

4=2²

 

5=5¹

 

6=2¹·3¹

 

7=7¹ 

 

8=2³

 

9=3²

 

10=2¹·5¹

 

11=11¹ 

 

12=2²·3¹

 

13=13¹ 

 

14=2¹·7¹

 

15=3¹·5¹

 

16=2⁴

 

17=17¹ 

 

18=2¹·3²

 

19=19¹ 

 

20=2²·5¹

 

21=3¹·7¹

 

22=2¹·11¹

 

23=23¹ 

 

24=2³·3¹

 

25=5²

 

26=2¹·13¹

 

27=3³

 

28=2²·7¹

 

29=29¹ 

 

30=2¹·3¹·5¹

 

 

Πώς βρίσκουμε το ΜΚΔ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών;

Αρχικά τους αναλύουμε σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.

Κατόπιν ο ΜΚΔ είναι ίσος με το γινόμενο

από τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη.

 

 

Πώς βρίσκουμε το ΕΚΠ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών;

Αρχικά τους αναλύουμε σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.

Κατόπιν το ΕΚΠ είναι ίσο με το γινόμενο

από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες

με το μεγαλύτερο εκθέτη.

 

24=2³·3¹

16=24

ΕΚΠ(16, 24)=

ΕΚΠ(24, 2³·3¹)=

24·3¹=

16·3=

48

 

 

ΜΚΔ(16, 24)=

ΜΚΔ(24, 2³·3¹)=

2³=

8

 

 

24=2³·3¹

25=52

ΕΚΠ(24, 25)=

ΕΚΠ(2³·3¹, 52)=

2³·3¹·52=

8·3·25=

24·25=

600

 

ΜΚΔ(24, 25)=

ΜΚΔ(2³·3¹, 52)=

20·30·50=

1·1·1=

1

 

 

ΕΚΠ(2³·3¹, 24·52)=

24·3¹·52

 

 

ΜΚΔ(2³·3¹, 24·52)=

2³·3⁰·50

 

 

ΕΚΠ χιονοπόλεμος

 

ΕΚΠ πολλαπλής επιλογής. Least Common Multiple - Online. (Scroll down and find the least common multiple of the number pair.)

 

 

ΕΚΠ πολλαπλής επιλογής (mathgames)

 

 

ΕΚΠ multiple MKΔ factors Train πολλαπλής επιλογής

 

 

Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων . Δέντρα.

 

 

EKΠ 2 αριθμών

 

 

ΜΚΔ 2 αριθμών

 

 

Για να βρω το ΕΚΠ δύο φυσικών αριθμών 

ελέγχω πρώτα τον μεγαλύτερο από τους δύο

αν είναι πολλαπλάσιο του άλλου

και αν δεν είναι

τότε ψάχνω το ΕΚΠ σε μεγαλύτερους αριθμούς.

 

 

Για να βρω το ΜΚΔ   δύο   φυσικών  αριθμών  

ελέγχω   πρώτα   τον  μικρότερο    από   τους   δύο  

αν   είναι   διαιρέτης   του   άλλου

και   αν  δεν   είναι

τότε   ψάχνω   το   ΜΚΔ  

σε  μικρότερους  αριθμούς.

 

 

Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών 

φυσικών αριθμών α, β

είναι μεγαλύτερο

από τον ΜΚΔ τους.

 

 

 

Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών 

φυσικών αριθμών α, β

δε γίνεται να είναι μεγαλύτερο 

από το γινόμενό τους. 

1ο παράδειγμα

το ΕΚΠ(3, 5)

δεν είναι πάνω από το 3·5

άρα δεν είναι μεγαλύτερο από το 15

2ο παράδειγμα

το ΕΚΠ(3, 6)

δεν είναι πάνω από το 3·6

άρα δεν είναι μεγαλύτερο από το 18

 

 

Το ΕΚΠ δύο μη μηδενικών 

φυσικών αριθμών α, β

είναι ίσο με το γινόμενό τους

όταν οι αριθμοί α και β

είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Αν

ΜΚΔ (α, β) = 1

τότε

ΕΚΠ (α, β) = α·β

 

 

Πρώτος αριθμός: Prime. Prime Numbers Song for Kids | Prime Numbers up to 97

 

 

Πρώτος αριθμός: Prime. I'm Prime - Rock 2 the Core - K-5 Math

 

 

The LCM & GCF Song

 

 

Πρώτοι αριθμοί ως το 100. Prime Numbers Rap Song

 

 

Τα πρώτα πολλαπλάσια του 5 σε αύξουσα και φθίνουσα σειρά.

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Καθήκοντα

2η ώρα

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει όλους τους διαιρέτες του 444 μέχρι το τέλος της ώρας;

Διαιρέτες του 444:  1,2,3,4,6,12,37,74,111,148,222,444

 

 

 

Ισοδύναμα Κλάσματα (Equivalent Fractions).

 

Απλοποίηση κλασμάτων. ( Simplifying Fractions)

 

Απλοποίηση και μετά Άθροισμα Κλασμάτων Simplifying The Fractions Before Adding Or Subtracting Them Is Very Smart

 

N Φυσικοί Z Ακέραιοι Q ρητοί R Πραγματικοί αριθμοί

 

Integers  Z Ακέραιοι 

 

N Φυσικοί Ν Natural numbers

 

 

 

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

 

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

 

Λόγος υψών Tom & Jerry 

Η έννοια του κλάσματος ως μέρος του όλου (geogebra). Φαίνεται εύκολο …

 

 

Playlist: Μετατροπές.

Σε αρκετές χώρες (και στα βίντεο στις playlists)

όταν γράφουν δεκαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούν

αντί για κόμμα τελεία και αντίστροφα

π.χ. 1,000 χίλια , 1.3 ένα τελεία τρία

ενώ στην Ελλάδα γράφουμε

1.000 χίλια 1,3 ένα κόμμα τρία

 

 

Pizza Pandas. Players: 4

 

 

Animal rescue. Mixed. Βρες σε έναν άξονα το κλάσμα.

 

 

 

Ενότητα Α.2.1.

 

Θεωρία:              σελίδες 35,36

Δραστηριότητα 1: σελίδα 37  (στο βιβλίο)

Εφαρμογή:   2       σελίδα 48

 

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4    σελίδα 36

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 5, 7, 9, 10, 11, 12    σελίδα 37

 

(σελίδα 51) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Ποιοι είναι οι όροι ενός κλάσματος;

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής.

 

 

 

Πότε ένα κλάσμα είναι  μεγαλύτερο από το 1;

Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

 

 

 

Να υπολογίσετε το ένα πέμπτο του τέσσερα.

Πολλαπλασιάζω το ένα πέμπτο με το τέσσερα και βρίσκω γινόμενο τέσσερα πέμπτα.

Άρα το ένα πέμπτο του τέσσερα είναι το τέσσερα πέμπτα.

 

 

 

Να υπολογίσετε τα δύο τρίτα του διακόσια.

Πολλαπλασιάζω τα δύο τρίτα με το διακόσια και βρίσκω γινόμενο τετρακόσια τρίτα .

Άρα τα δύο τρίτα του διακόσια είναι το τετρακόσια τρίτα.

Σημείωση: Όταν το αποτέλεσμα σε μια άσκηση είναι ανάγωγο κλάσμα

η άσκηση ολοκληρώνεται εκεί και δεν κάνω τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή.

Όπως ακριβώς στην παραπάνω άσκηση βρήκα αποτέλεσμα τετρακόσια τρίτα 

και σταμάτησα εκεί. Δεν έκανα την διαίρεση τετρακόσια διά τρία.

 

 

 

Να υπολογίσετε

τα τρία τέταρτα του 3,72.

Πολλαπλασιάζω

το κλάσμα τρία τέταρτα

με το 3,72 

και βρίσκω 2,79.

 

 

 

Δραστηριότητα διαδραστική (πανεύκολη).

 

 

 

1η δραστηριότητα (εύκολη), 2η δραστηριότητα (σχετικά εύκολη), 4η δραστηριότητα (μέτριας δυσκολίας), 5η δραστηριότητα (λίγο δύσκολη)  με μήκη τμημάτων. Κλικ Βοήθεια.

 

 

 

4 questions , find the restriction for the denominator , 2nd degree also , mc. (with negative numbers)

 

 

 

denominator    παρονομαστής

equivalent  ισοδύναμα 

fraction  κλάσμα 

numerator   αριθμητής

 

 

 

Απορία:

Τα 9/7 από το 60.

9/7 του 60 θα πει πολλαπλασιάζω το 9/7 με το 60

και βρίσκω 540 προς 7.

 

 

 

Στην ενότητα Α.2.5. σελ 48  εφαρμογή 2 γράφει ότι

για να βρω τα 5/9 του 252

πολλαπλασιάζω το 5/9 με το 252.

Αυτός είναι πάρα πολύ

πιο γρήγορος τρόπος

από την αναγωγή στη μονάδα.

 

 

Fraction multiplication. Multiplying fractions. 

 

 

Fractions on a Number Line Song | 3rd Grade & 4th Grade

 

 

Fractions! | Mini Math Movies | Scratch Garden

 

 

 

Απορία:

Γιατί στο κλάσμα 2 προς χ-3 είπαμε ότι πρέπει χ διάφορο του 3

και όχι χ διάφορο του 0;

Η εξήγηση γραμμένη με μαθηματικό τρόπο:

χ - 3 διάφορο του 0

χ -3 +3 διάφορο του  0 +3              (προσθέτω +3   και στα δύο μέλη)

      χ    διαφορετικό από το  3

 

Η εξήγηση με φιλολογικό τρόπο τώρα:

Πρέπει ο παρονομαστής του κλάσματος που βλέπουμε κάθε φορά να μην είναι μηδέν.

Εδώ ο παρονομαστής είναι χ-3.

Άρα το χ-3 δεν πρέπει να είναι 0.  

(δε λέμε σε αυτήν την άσκηση:

το χ δεν πρέπει να είναι 0

αφού ο παρονομαστής τώρα δεν είναι χ αλλά χ-3)

το χ-3 (όλο μαζί)  γίνεται μηδέν όταν το χ γίνει 3.   

(το χ-3 αν βάλω αντί για χ το 3 γίνεται 3-3 που κάνει μηδέν

και δε θέλω ο παρονομαστής να είναι 0

άρα δε θέλω το χ να είναι 3

άρα χ δεν είναι ίσο με το 3)  

 

Το κλάσμα 30 προς 6 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 5.

 

 

 

Το κλάσμα 4 προς 1 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 4.

 

 

 

Το κλάσμα 24 προς 6 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 4.

 

 

 

Το κλάσμα 30 προς 5 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 6.

 

 

 

Το κλάσμα 8 προς 2 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 4.

 

 

 

Το κλάσμα 0 προς 4 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 0.

 

 

 

Το κλάσμα 4 προς 4 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 1.

 

 

 

Το κλάσμα 20 προς 4 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 5.

 

 

 

Το κλάσμα 13 προς 1 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 13.

 

 

 

Το κλάσμα 28 προς 4 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 7.

 

 

 

Το κλάσμα 12 προς 2 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 6.

 

 

 

Το κλάσμα 33 προς 11 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 3.

 

 

 

Το κλάσμα 16 προς 2 είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 8.

 

 

 

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ακέραιοι ταυτόχρονα.

 

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ρητοί ταυτόχρονα.

 

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί είναι ρητοί ταυτόχρονα.

 

Δεν είναι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί ταυτόχρονα και φυσικοί αριθμοί (π.χ. -3).

 

Δεν είναι όλοι οι ρητοί αριθμοί ταυτόχρονα και φυσικοί αριθμοί (π.χ. -3).

 

Δεν είναι όλοι οι ρητοί αριθμοί ταυτόχρονα και φυσικοί αριθμοί (π.χ. -2,3).

 

Δεν είναι όλοι οι ρητοί αριθμοί ταυτόχρονα και ακέραιοι αριθμοί (π.χ. 3,3).

 

 

 

Οι Φυσικοί αριθμοί συμβολίζονται με το Ν
Ν={0,+1,+2,+3,...}

 

 

 

Οι Ακέραιοι αριθμοί συμβολίζονται με το Ζ

Ζ={ ... , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }

 

 

 

Q= {m/n, όπου m∈Z, n∈Z, n≠0}

Οι Ρητοί αριθμοί συμβολίζονται με το Q.

Κάθε ρητός αριθμός

μπορεί να γραφεί ως κλάσμα

δύο ακέραιων αριθμών

α/β

με την προϋπόθεση ότι

το β δεν είναι ίσο με το μηδέν.

 

 

 

Το κλάσμα -6 προς 2 είναι ίσο με τον ακέραιο (και ρητό) αριθμό -3.

 

Το κλάσμα -6 προς -2 είναι ίσο με τον φυσικό (και ακέραιο και ρητό) αριθμό +3.

 

Το κλάσμα 2 προς 2 είναι ίσο με τον φυσικό (και ακέραιο και ρητό) αριθμό 1.

 

Το κλάσμα 5 προς 2 είναι ίσο με τον ρητό αριθμό 2,5.

 

Το κλάσμα -7 προς 2 είναι ίσο με τον ρητό αριθμό -3,5.

 

Το κλάσμα -0 προς 5 είναι ίσο με τον φυσικό (και ακέραιο και ρητό) αριθμό 0.

 

Το κλάσμα 6 προς 3 είναι ίσο με τον φυσικό (και ακέραιο και ρητό) αριθμό 2.

 

Είναι το 5/3 φυσικός; Όχι.

Είναι το 5/3 ακέραιος; Όχι.

Είναι το 5/3 ρητός; Ναι.

 

 

 

Είναι το -2 φυσικός; Όχι.

Είναι το -2 ακέραιος; Ναι.

Είναι το -2 ρητός; Ναι.

 

 

 

Είναι το -7/8 φυσικός; Όχι.

Είναι το -7/8 ακέραιος; Όχι.

Είναι το -7/8 ρητός; Ναι.

 

 

 

Είναι το 6/3 φυσικός; Ναι.

Είναι το 6/3 ακέραιος; Ναι.

Είναι το 6/3 ρητός; Ναι.

 

 

 

Είναι το -6/3 φυσικός; Όχι.

Είναι το -6/3 ακέραιος; Ναι.

Είναι το -6/3 ρητός; Ναι.

 

 

 

Είναι το -6/-3 φυσικός; Ναι.

Είναι το -6/-3 ακέραιος; Ναι.

Είναι το -6/-3 ρητός; Ναι.

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Λόγος υψών Tom & Jerry 

 

Καθήκοντα

2η ώρα 

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Η έννοια του κλάσματος ως μέρος του όλου (geogebra). Φαίνεται εύκολο …

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Να υπολογίσετε

τα τρία τέταρτα του 34,72.

 

 

 

 

 

 

Πάρα πολύ σημαντική μέθοδος:

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Όλοι πρέπει να την μάθουν.

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση με αναγωγή στη μονάδα;

Πρόβλημα

Ο  πληθυσμός  μιας πόλης αυξάνεται  κάθε  χρόνο  κατά 2%.

Αν   η   πόλη   αυτή   έχει   σήμερα   1.040.400   κατοίκους ,

ποιος   ήταν   ο   πληθυσμός   της   πριν   1   χρόνο;

Λύση Α' Γυμνασίου

Αν πούμε ότι

ο περσινός αριθμός κατοίκων

είναι το 100%,

τότε

ο φετινός αριθμός κατοίκων

είναι το 100% συν 2%.

Οπότε 1.040.400 είναι το 102%

Κάνω αναγωγή στη μονάδα.

Αν διαιρέσω το 1.040.400 με το 102

( 1.040.400/102 = 10.200 ) 

βρίσκω το 1%.

Εφόσον ψάχνω το 2%

πολλαπλασιάζω το 10.200 με το 2,

10.200 · 2= 20.400 

και το αφαιρώ από το 1.040.400.

 1.040.400 - 20.400 = 1.020.000 

Ο πληθυσμός της πόλης πριν από ένα χρόνο ήταν 1.020.200

Λύση Β' Γυμνασίου 

Αν ήταν Χ ο πληθυσμός.

Χ + 0,02•Χ =1.040.400

1•Χ + 0,02•Χ =1.040.400

(1+0,02)•Χ =1.040.400

1,02•Χ =1.040.400

(1,02•Χ)÷1,02 =1.040.400÷1,02

Χ=1.040.400÷1,02

Χ=1.020.000

Ο πληθυσμός της πόλης πριν ένα χρόνο ήταν 1.020.000.

Επαλήθευση:

1.020.000•(2%)=

1.020.000•0,02=

20.400

και

1.020.000+20.400=

1.040.400

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ισοδύναμα Κλάσματα (Equivalent Fractions).

 

Απλοποίηση κλασμάτων. ( Simplifying Fractions)

 

Απλοποίηση και μετά Άθροισμα Κλασμάτων Simplifying The Fractions Before Adding Or Subtracting Them Is Very Smart

 

 

 

 

 

Ως το 7:30. Ισοδύναμα Κλάσματα (Μέρος 1). Θεωρία σε βίντεο.

Βρες ισοδύναμα κλάσματα και άλλαξε τον παρονομαστή (geogebra).  

 

Σταυρόλεξο στα κλάσματα.

Ερωτήσεις Σ-Λ στα ισοδύναμα κλάσματα.  

 

Τηλεπαιχνίδι με ισοδύναμα κλάσματα.  

 

Ισοδύναμα κλάσματα: αντιστοίχιση (θεωρία).  

 

 

 

 

 

 

Ενότητα Α.2.2.

 

Θέματα Τεστ Α.2.2. (Σαν την άσκηση 6 σελίδα 40) 

 

 

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

 

 

Ratio Stadium, Fraction Games, Ratio equivalency NUMBER OF PLAYERS: 4

Βρείτε τον άγνωστο. Ίσα χιαστί γινόμενα. NUMBER OF PLAYERS: 4

 

 Game 1 Game 2. Level 5. Relaxed mode. Slow.

 

 

 

 

Simplifying Fractions Rap Typography (Math)

 

 

 

Playlist: Μετατροπές.

 

Playlist προαιρετική: Διαιρέσεις και με αρνητικούς αριθμούς.

 

Playlist προαιρετική: Απλοποίηση.

 

Σε αρκετές χώρες (και στα βίντεο στις playlists) όταν γράφουν δεκαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούν αντί για κόμμα τελεία και αντίστροφα π.χ.

1,000 χίλια ,

1.3 ένα τελεία τρία

ενώ στην Ελλάδα γράφουμε

1.000 χίλια

1,3 ένα κόμμα τρία.

 

 

 

Θεωρία:              σελίδες 38,39

Εφαρμογές: 1, 2, 3          σελίδα 39

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10    σελίδα 40

 

(σελίδα 59) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

Ανάγωγο κλάσμα λέγεται ένα κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί.

Ανάγωγο κλάσμα λέγεται ένα κλάσμα α/β όταν ισχύει ΜΚΔ (α, β) = 1.

Ανάγωγο κλάσμα λέγεται ένα κλάσμα α/β όταν ο μοναδικός κοινός διαιρέτης του α και του β είναι το 1.

Ανάγωγο κλάσμα λέγεται ένα κλάσμα α/β όταν οι όροι του α και β είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.

 

Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα α/β σε ανάγωγο διαιρούμε

και τον αριθμητή του α και τον παρονομαστή του β

με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους ΜΚΔ(α, β).

 

 

 

Πώς απλοποιώ

το κλάσμα 12/18

όσο γίνεται;

Διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή

με το ΜΚΔ τους.

ΜΚΔ(12,18)=6

12/6=2

18/6=3

Άρα

12/18=
2/3

(Το 2/3 είναι ανάγωγο)

 

 

 

Start. Αν 3/χ=6/10 τότε χ= (Σαν την άσκηση 6 σελίδα 40)

 

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

4 ερωτήσεις.

 

 

Βρες το ΕΚΠ των παρονομαστών και γράψε τα κλάσματα ως ομώνυμα.

 

 

 

Απλοποίηση σε ανάγωγο κλάσμα. Simplest Form Song: Simplifying Fractions by NUMBEROCK

 

 

 

denominator    παρονομαστής

equivalent  ισοδύναμα 

fraction  κλάσμα 

numerator   αριθμητής

 

 

Pre-Algebra 16 - Reducing Fractions

 

 

 

Απορία

40/60=16/χ  

α΄ τρόπος    

Αρχικά απλοποιώ

το 40/60

όσο γίνεται.

Διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή

με το ΜΚΔ τους.

ΜΚΔ(40,60) = 20

40/20 = 2 , 60/20 = 3.

Άρα

40/60 =

(40:20) / (60:20) =

2/3

Μετά σκέφτομαι

με ποιον  τρόπο μπορεί

από 2 που είναι ο αριθμητής (του 2/3 )

να γίνει 16.

Αρκεί να πολλαπλασιάσω το 2 με το 8

για να γίνει 16.

Όμως αν πολλαπλασιάσω με το 8

τον αριθμητή ενός κλάσματος,

πρέπει να πολλαπλασιάσω με το 8

και τον παρονομαστή του κλάσματος.

Άρα στο 2/3 κάνω επί 8

και τον αριθμητή

και τον παρονομαστή

και γίνεται 16/24. 

Άρα 24 ο παρονομαστής.

χ=24

Απορία

40/60=16/χ 

β΄ τρόπος   (χιαστί με το μυαλό)

60 επί 16 = 960

 

40 επί πόσο κάνει 960;

 

κάνω 960 δια 40    
960/40 = 24

Άρα 24 ο παρονομαστής.

χ=24

 

Απορία

40/60=16/χ 

γ΄ τρόπος   (χιαστί)

40/60=16/χ  

40χ=60·16              

Χιαστί 

40χ=960                  

Πράξεις

40χ/40=960/40      

Διαιρώ και τα 2 μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.

χ=24

 

Equivalent Fractions Song - Rock 2 the Core - K-5 Math

 

 

Απορία

χ/4=4/16

Κοιτάω τους δύο παρονομαστές

που είναι

4 στο πρώτο κλάσμα χ/4

και

16 στο δεύτερο κλάσμα 4/16

Σκέφτομαι με ποιον αριθμό 

πρέπει να διαιρέσω 

το 16 για να γίνει 4.

Με το 4 αφού 16:4 κάνει 4.

Ξαναπάω στην αρχική εξίσωση.

χ/4=4/16

Κοιτάω τους δύο αριθμητές.

Τώρα διαιρώ τον

δεύτερο αριθμητή με 4

για να βρω ποιο είναι το χ.

4:4=1

Άρα χ=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

 

Playlist: Ρητοί.

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Να μετατρέψετε σε ανάγωγο το κλάσμα 154/616

Να πολλαπλασιάσατε

και τα δύο μέλη 

της εξίσωσης χ/5=3/5

με το ΕΚΠ των παρονομαστών 

δηλαδή το 5

ώστε να κάνετε 

απαλοιφή παρονομαστών.

 

 

Να πολλαπλασιάσατε

και τα δύο μέλη 

της εξίσωσης 7/4=χ/6

με το ΕΚΠ των παρονομαστών 

δηλαδή το 12

ώστε να κάνετε 

απαλοιφή παρονομαστών.

 

 

Να διαιρέσετε

και τα δύο μέλη 

της εξίσωσης 30χ=5

με τον συντελεστή του αγνώστου 

δηλαδή το 30

ώστε να προκύψει η λύση της. 

 

 

Να απλοποιηθεί το κλάσμα 

με αριθμητή 7χψ και

παρονομαστή 14ψ.

 

 

 

 

Απλοποίηση για  1 / 25

 

 

 

Πάρα πολύ σημαντική μέθοδος:

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Όλοι πρέπει να την μάθουν.

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση με αναγωγή στη μονάδα;

Πρόβλημα

Ο  πληθυσμός  μιας πόλης αυξάνεται  κάθε  χρόνο  κατά 2%.

Αν   η   πόλη   αυτή   έχει   σήμερα   1.040.400   κατοίκους ,

ποιος   ήταν   ο   πληθυσμός   της   πριν   1   χρόνο;

Λύση Α' Γυμνασίου

Αν πούμε ότι

ο περσινός αριθμός κατοίκων

είναι το 100%,

τότε

ο φετινός αριθμός κατοίκων

είναι το 100% συν 2%.

Οπότε 1.040.400 είναι το 102%

Κάνω αναγωγή στη μονάδα.

Αν διαιρέσω το 1.040.400 με το 102

( 1.040.400/102 = 10.200 ) 

βρίσκω το 1%.

Εφόσον ψάχνω το 2%

πολλαπλασιάζω το 10.200 με το 2,

10.200 · 2= 20.400 

και το αφαιρώ από το 1.040.400.

 1.040.400 - 20.400 = 1.020.000 

Ο πληθυσμός της πόλης πριν από ένα χρόνο ήταν 1.020.200

Λύση Β' Γυμνασίου 

Αν ήταν Χ ο πληθυσμός.

Χ + 0,02•Χ =1.040.400

1•Χ + 0,02•Χ =1.040.400

(1+0,02)•Χ =1.040.400

1,02•Χ =1.040.400

(1,02•Χ)÷1,02 =1.040.400÷1,02

Χ=1.040.400÷1,02

Χ=1.020.000

Ο πληθυσμός της πόλης πριν ένα χρόνο ήταν 1.020.000.

Επαλήθευση:

1.020.000•(2%)=

1.020.000•0,02=

20.400

και

1.020.000+20.400=

1.040.400

 

 

 

 

 

 

 

 

Playlist 1. Comparing fractions.

 

 

 

Από το 7:30. Σύγκριση κλασμάτων (Μέρος 1). Θεωρία σε βίντεο.

 

 

 

 

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

 

Σύγκριση ομώνυμων κλασμάτων aaamath

 

Σύγκριση ετερώνυμων κλασμάτων με ίδιο αριθμητή aaamath

 

Σύγκριση ετερώνυμων κλασμάτων aaamath

 

 

 

Θέματα Τεστ Α.2.3. σε μορφή παιχνιδιού. Σύγκριση κλασμάτων Dirt Bike Comparing Fractions NUMBER OF PLAYERS: 8

 

 

 

Ενότητα Α.2.3.

Θεωρία: σελίδα 41

Εφαρμογές: 2, 3, 4         σελίδα 42

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8            σελίδα 43

(σελίδα 68) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Crocodile Game

 

 

Αύξουσα σειρά. Number climb. Fractions. Play now.

 

 

I know it. Διάταξη και σύγκριση κλασμάτων.

 

 

 

Find grampy strict.

Find Grampy-Strict. Oρισμός κλάσματος και σύγκριση κλασμάτων.

 

Find grampy.

Find Grampy. Πατήστε start και ο παππούς θα κρυφτεί σε ένα κλάσμα της διαδρομής από το 0 στο 1.Προσέξτε σε πόσα μέρη είναι χωρισμένη η διαδρομή (διαβάζοντας τη σειρά: The hedge has 15 parts). Γράψτε το κλάσμα που πιστεύετε ότι ταιριάζει στο μέρος που έχει κρυφτεί ο παππούς κάνοντας απλοποίηση αν γίνεται. Για ακόμα ένα : New Example. Αριστερά γράφει το σκορ σας σε ποσοστό.

 

 

Έχω δύο ακριβώς ίδιες πίτες.

Την μία την χωρίζω σε 2 ίσα κομμάτια.

Την άλλη την χωρίζω σε 3 ίσα κομμάτια.

Αν πάρω ένα κομμάτι και από τις δύο,

τότε το κομμάτι που αντιστοιχεί

στο 1/2 της πίτας

είναι μεγαλύτερο από

το κομμάτι που αντιστοιχεί

στο 1/3 της πίτας.

Άρα

1/2 > 1/3

ή αλλιώς

1/3 < 1/2

Άρα από δύο κλάσματα

με τον ίδιο αριθμητή 

μεγαλύτερο είναι όποιο έχει 

μικρότερο παρονομαστή.

 

 

Έχω δύο ακριβώς ίδιες πίτες.

Και τις δύο τις χωρίζω

σε 8 ίσα κομμάτια.

Αν πάρω τέσσερα κομμάτια

από την πρώτη

και εφτά κομμάτια

από τη δεύτερη 

τότε

από τη δεύτερη

έχω πάρει παραπάνω.

 4/8 < 7/8

Από δύο ομώνυμα κλάσματα 

(με τον ίδιο παρονομαστή)

μεγαλύτερο είναι όποιο έχει 

μεγαλύτερο αριθμητή.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πόσοι ρητοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ

του δύο πέμπτα (2/5) και του τρία πέμπτα (3/5);

Άπειροι.

Για παράδειγμα:

Το 2/5 είναι ίσο με 20/50 και

Το 3/5 είναι ίσο με 30/50.

Άρα μεταξύ του 2/5 και του 3/5

βρίσκονται οι ρητοί:

21/50, 22/50, 23/50, 24/50, 25/50, 26/50, 27/50, 28/50, 29/50.

Ομοίως:

Το 2/5 είναι ίσο με 200/500 και

Το 3/5 είναι ίσο με 300/500.

Άρα μεταξύ του 2/5 και του 3/5

βρίσκονται οι ρητοί:

201/500, 202/500, 203/500, ... , 299/500

και ούτω καθεξής.

 

 

 

Ποιος είναι ο επόμενος ρητός αριθμός μετά τον ρητό 2/5;

Δεν ορίζεται επόμενος ρητός μετά τον ρητό δύο πέμπτα.

 

 

 

Άσκηση του σχολικού βιβλίου:

Βάλε σε σειρά τα κλάσματα: 3/5, 8/15, 5/10, 20/15, 7/5.

Απορία μαθητή από το Α4:

Σε ποια σειρά να τα βάλουμε;

Σε φθίνουσα ή σε αύξουσα;

Απάντηση:

Πολύ καλή απορία!

Δε λέει σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

Άρα εμείς γράφουμε και τις δύο περιπτώσεις.

Οι ίδιες οι λύσεις του σχολικού βιβλίου από λάθος

γράφουν μόνο την αύξουσα σειρά.

Δεν έχει σημασία τι εννοεί αυτός που έφτιαξε τη διατύπωση ενός ερωτήματος,

αλλά τι έγραψε στη διατύπωση.

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

Βάλε σε φθίνουσα σειρά τα κλάσματα: 3/5, 8/15, 5/10, 20/15, 7/5.

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Να τοποθετήσετε τα κλάσματα 5/8, 5/6, 7/9, 1/3, 1/6, 5/9 σε φθίνουσα σειρά.

Quiz σε ισοδύναμα και σύγκριση.  

Ισοδύναμα και σύγκριση. (wordwall) .

 

 

.

 

 

Άθροισμα Κλασμάτων   Adding Fractions

 

Άθροισμα Ομώνυμων Κλασμάτων . Adding Like Fractions

 

Άθροισμα Ετερώνυμων Κλασμάτων . Adding Unlike Fractions

 

 

μεικτοί αριθμοί ( Mixed Fractions)

 

 

 

Απλοποίηση κλασμάτων. ( Simplifying Fractions)

 

 

 

Ως 3:12. Βίντεο για την πρόσθεση κλασμάτων. Κλάσματα. (Μέρος 2).

 

 

 

 

 

Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

 

Πρόσθεση και Αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων aaamath

 

 

 

Ποιος είναι ο πιο γενικός τρόπος να προσθέσουμε (ή να αφαιρέσουμε)

δύο ετερώνυμα κλάσματα;

Πρέπει να μετατρέψουμε τα δύο ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα

για να μπορούμε να τα προσθέσουμε (ή να τα αφαιρέσουμε).

Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών.

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κάθε κλάσματος

με το πηλίκο από την διαίρεση του

ΕΚΠ των παρονομαστών

δια

τον παρονομαστή

του εκάστοτε κλάσματος.

Πλέον μετά τους πολλαπλασιασμούς τα κλάσματα είναι ομώνυμα

και γίνεται η πρόσθεση (ή η αφαίρεση) μεταξύ τους.

Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (ή της αφαίρεσης) που θα βρούμε

το κάνουμε ανάγωγο

διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αποτελέσματος

με τον ΜΚΔ τους.

 

 

 

Ενότητα Α.2.4.

Θεωρία: σελίδα 44, σελίδα 45

Δραστηριότητες: 1, 2, 3   σελίδα 44

Δραστηριότητες: 1, 2   σελίδα 47

Εφαρμογές: 1, 2, 3, 4 σελίδα 45

Εφαρμογές: 5, 6 σελίδα 46

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8            σελίδα 46

Άσκήση από το σχολικό βιβλίο: 9            σελίδα 47

(σελίδα 75) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Speedway Fractions NUMBER OF PLAYERS: 12

 

 

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

 

 

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

 

 

 

denominator    παρονομαστής

equal  ίσα

equivalent  ισοδύναμα 

fraction  κλάσμα 

numerator   αριθμητής

 

 

 

Άθροισμα ομώνυμων Level 1a, 2a  και   ετερώνυμων Level 3a κλασμάτων .

Πρόσθεση και απλοποίηση Level 1b, 2b, 3b.

Relaxed mode, slow fruit.

 

 

 

Πρόσθεση αφαίρεση κλασμάτων hit the target with the numbers available using just addition and subtraction . Show a solution. Difficult.

Generate new target  (αν είναι αρνητικός)

 

 

 

A΄ α2.4. 10 questions Πρόσθεση κλασμάτων.

 

 

 

EKΠ 2 αριθμών

 

 

ΕΚΠ χιονοπόλεμος

 

 

 

ΕΚΠ πολλαπλής επιλογής. Least Common Multiple - Online. (Scroll down and find the least common multiple of the number pair.)

 

 

 

ΕΚΠ πολλαπλής επιλογής (mathgames)

 

 

 

ΕΚΠ multiple MKΔ factors Train πολλαπλής επιλογής

 

 

 

Adding & Subtracting Fractions Song: LIKE and UNLIKE Denominators

 

 

 

Denominators! (a song about how to add and subtract fractions)

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

Άθροισμα Ομώνυμων Κλασμάτων . Adding Like Fractions

 

Άθροισμα Ετερώνυμων Κλασμάτων . Adding Unlike Fractions

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

(3/10)+(6/15)

 

 

Στην πρόσθεση 3/α + 2/β

τι θα βάζατε στο καπελάκι

πάνω από κάθε κλάσμα;

Πώς θα γινόντουσαν

τα κλάσματα ομώνυμα;

Ποια θα ήταν

η τελευταία σειρά 

της πρόσθεσης;

 

 

 

Στην αφαίρεση 3/χ - 2/(χ-1)

τι θα βάζατε στο καπελάκι

πάνω από κάθε κλάσμα;

Πώς θα γινόντουσαν

τα κλάσματα ομώνυμα;

 

 

 

 

 

Να γράψετε αναλυτικά τις πράξεις

στις παρακάτω παραστάσεις:

(46/3)-(8/6)-(2/6)=
Λύση: 41/3

 

(31/3)-2-1-(2/4)=
Λύση: 41/6

 

(46/2)-(9/5)-(7/5)=
Λύση: 99/5

 

 

(30/4)-2-1-(2/3)=
Λύση: 23/6

Μετατροπή κλάσματος σε μεικτό (geogebra)  .

 

3/5 + ? = 1. Άθροισμα κλασμάτων (geogebra). 

 

 

 

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση στα 4 τελευταία βίντεο;

 

Σπάω ένα κλάσμα σε δύο. Splitting A Fraction   

 

 

 

 

Playlist 1. Fraction multiplication. Multiplying fractions.

 

 

Playlist 2: What is the reciprocal of a number? What is the multiplicative inverse of a number?

 

 

 

 

 

Από 3:12 ως 4:18. Βίντεο για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Κλάσματα. (Μέρος 2).

Θεωρία. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.  

 

Quiz στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων.

 

 

 

 

Snow Sprint Multiplying fractions NUMBER OF PLAYERS: 12

 

 

Multiplying Fractions Song

 

Multiplying Fractions with Whole Numbers Song by NUMBEROCK

 

 

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

 

 

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

 

 

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

 

 

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α4

 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α4

 

 

 

 

Ενότητα Α.2.5.

Θεωρία: σελίδα 48

Εφαρμογές:   1, 2       σελίδα 48

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 σελίδα 49 

Σημείωση: Άσκηση Α1(δ) Μόνο οι αριθμοί 1 και -1 είναι  ίσοι με τον αντίστροφό τους.

(σελίδα 84) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ,

(δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα)

σχηματίζουμε ένα καινούριο κλάσμα που έχει :

αριθμητή: το γινόμενο των αριθμητών,

παρονομαστή: το γινόμενο των παρονομαστών

και απλοποιούμε ώστε να γίνει ανάγωγο.

 

 

Για να πολλαπλασιάσουμε

έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα,

κάνουμε το φυσικό αριθμό κλάσμα

(βάζοντας στον παρονομαστή τη μονάδα)

και στη συνέχεια

κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

 

 

Αντίστροφοι λέγονται  

δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο 1.

 

 

Πριν πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα  

κάνω απλοποίηση,

αν ο ΜΚΔ

οποιουδήποτε αριθμητή

με

οποιονδήποτε παρονομαστή       

είναι διαφορετικός του 1.

 

 

 

Πέντε όγδοα επί τρία τέταρτα ίσον δεκαπέντε τριακοστά δεύτερα.

 

 

Τέσσερα τρίτα επί δύο τρίτα ίσον οχτώ ένατα.

 

Τέσσερα πέμπτα επί είκοσι ίσον δεκαέξι.

 

 

Δεκαπέντε επί ένα έκτο ίσον πέντε δεύτερα.

 

 

Τα πέντε τέταρτα του εκατό

είναι ίσα με το γινόμενο

πέντε τέταρτα επί εκατό

που είναι ίσο με το

εκατόν είκοσι πέντε.

 

 

Ένα πέμπτο συν δύο πέμπτα επί τρία ίσον εφτά πέμπτα.

 

 

Δύο πέμπτα συν ένα πέμπτο επί τρία πέμπτα ίσον δεκατρία εικοστά πέμπτα.

 

 

Δώδεκα επί ένα δεύτερο ίσον έξι.

 

 

Έξι επί πέντε δεύτερα ίσον δεκαπέντε.

 

 

Έξι πρώτα επί εφτά δεύτερα ίσον είκοσι ένα.

 

 

Τέσσερα δεύτερα επί τρία πέμπτα ίσον έξι πέμπτα.

 

 

Ο αντίστροφος του τρία τέταρτα είναι το τέσσερα τρίτα.

 

 

Ο αντίστροφος του τρία είναι το ένα τρίτο.

 

 

Ο αντίστροφος του ένα τρίτο είναι το τρία.

 

 

Ο αντίστροφος του μείον πέντε είναι το μείον ένα πέμπτο.

 

 

Ο αντίστροφος του μείον τρία τέταρτα είναι το μείον τέσσερα τρίτα.

 

 

 

Υπάρχουν αριθμοί  

που οι αντίστροφοί τους

είναι ίδιοι με αυτούς;

Ναι. Το ένα και το μείον ένα.

1·1=1

(-1)·(-1)=1

 

 

 

Ποιος αριθμός δεν έχει αντίστροφο;

Το μηδέν.

 

 

 

Ο αντίστροφος του πέντε είναι το ένα πέμπτο.

Ο αντίστροφος του πέντε είναι η δύναμη που έχει βάση το πέντε και εκθέτη το μείον ένα.

 

 

 

Ο αντίστροφος του δύο τρίτα είναι το τρία δεύτερα.

Ο αντίστροφος του δύο τρίτα είναι η δύναμη που έχει βάση το δύο τρίτα (μέσα σε παρένθεση) και εκθέτη το μείον ένα.

Ο αντίστροφος του δύο τρίτα είναι το σύνθετο κλάσμα που έχει αριθμητή το ένα και παρονομαστή το δύο τρίτα.

 

 

 

Ο αντίστροφος του χι συν δύο είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το ένα και παρονομαστή το χι συν δύο.

 

 

 

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα, απλοποιήστε το γινόμενο.  Millionaire Game

 

 

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.Εμείς το επί το γράφουμε σαν τελεία και όχι σαν X.

 

 

 

Super Large,Extra Large,Large,Medium,Small Pizza . Πόσα χρήματα μπορείτε να βγάλετε σε 5 λεπτά;

 

 

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα,απλοποιήστε το γινόμενο. 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

 

 

 

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα,απλοποιήστε το γινόμενο.  

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α2

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α3

 

Να γράψετε τα γινόμενα με μία κλασματική γραμμή.

(3/α) (2/β) =

 

(3/χ) (2/(χ-1)) =

 

 

 

 

 

Playlist 1. Dividing fractions. Understanding division of fractions. Complex fractions.    

 

Αντίστροφος. Reciprocal of a number

 

Σύνθετα Κλάσματα. Simplifying Complex Fraction  

 

Απλοποίηση κλασμάτων. ( Simplifying Fractions)

 

 

 

Απλοποίηση κλασμάτων με μεταβλητές ( Simplifying Algebraic Fractions)

 

 

 

Από 4:12. Βίντεο για την διαίρεση κλασμάτων. Κλάσματα. (Μέρος 2).

 

Θεωρία. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.  

 

Dividing Fractions with KEEP, CHANGE, FLIP | Fractions Rap Song

 

 

Dividing Fractions by Whole Numbers Song

 

 

 

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1.doc

 

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1.doc

 

 

Θεωρία: σελίδα 50

Ανακεφαλαίωση: σελίδα 54

Εφαρμογές:   1, 2       σελίδα 50

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  σελίδα 51

(σελίδα 89) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα.

Αφήνουμε το διαιρετέο (το κλάσμα που είναι πριν το διά) όπως είναι.

Αντιστρέφουμε το διαιρετή (το κλάσμα που είναι μετά το διά)

και πολλαπλασιάζουμε τα δύο κλάσματα.

 

 

 

Ένα κλάσμα είναι σύνθετο όταν ένας τουλάχιστον όρος του είναι κλάσμα.

1η περίπτωση: Ένα κλάσμα είναι σύνθετο όταν ο αριθμητής του είναι κλάσμα.

2η περίπτωση: Ένα κλάσμα είναι σύνθετο όταν ο παρονομαστής του είναι κλάσμα.

3η περίπτωση: Ένα κλάσμα είναι σύνθετο όταν ο αριθμητής του και ο παρονομαστής του είναι κλάσματα.

 

 

 

Ενότητα Α.2.6.

 

 

+ , - , X , / Tηλεπαιχνίδι

 

 

 

Διαίρεση κλασμάτων. Divide the first fraction by the integer and reduce to lowest terms. Leave the answer as a fraction, and not a mixed number.

 

 

Στο κάτω μέρος της σελίδας πατήστε Question 1. Θα βρείτε 10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Εμείς το διά το γράφουμε σαν άνω κάτω τελεία.

 

 

 

Divide whole numbers by fractions. Η απάντηση σε μορφή κλάσματος.

 

 

 

Διαίρεση. Η απάντηση σε μορφή κλάσματος.

 

Η απάντηση σε μορφή κλάσματος.

 

(1/2) : 3 =
(1/2) · (1/3) =
1/6

 

Διαίρεση κλασμάτων.
(12/6) : (1/4) =
2 · 4/1 =
8/1 =
8

 

 

To divide two fractions you multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction.

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων ΘΕΜΑΤΑ Α1.doc

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

Playlist 1. Dividing fractions. Understanding division of fractions. Complex fractions.    

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

Αντίστροφος. Reciprocal of a number

 

 

(360^o) / (40^o) =

 

(1/2) : 3 =

 

Ποιος είναι ο αντίστροφος του -5;

 

(12/6) : (1/4) =

(-4)^-1=

 

 

Να γράψετε

στο παρακάτω γινόμενο κλασμάτων

την επόμενη σειρά

χωρίς να υπάρχουν κλάσματα:

(Όταν το γράφω στον πίνακα δεν υπάρχουν παρενθέσεις στην πρώτη σειρά.)

 (6/-3) · (4/-1) =

         ? · ?

 

 

 

Να γράψετε την επόμενη σειρά χωρίς παρονομαστή.

Να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή.

(Όταν το γράφω στον πίνακα δεν υπάρχει παρένθεση στην πρώτη σειρά.)

 6 · (χ-1) / 3 = 6χ 

... · ... = 6χ

 

Να γράψετε τη διαίρεση 

των παρακάτω κλασμάτων 

ως ένα κλάσμα.

χ/5 : 4/(χ-1)=

? / ?

 

 

Να εξηγήσετε γιατί το σύνθετο κλάσμα 

5/3/2 έχει δύο τρόπους να λυθεί

με αποτελέσματα 10/3 και 5/6

 

 

 

 

Ερωτήσεις επανάληψης του κεφαλαίου με τις απαντήσεις.

 

Ερωτήσεις επανάληψης του κεφαλαίου χωρίς τις απαντήσεις.

 

Ασκήσεις επανάληψης στα κλάσματα.  

Αριθμητικές παραστάσεις με πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις στα  κλάσματα  .

Επαναληπτικό Quiz στις πράξεις κλασμάτων 

 

 

ταχύτητα βίντεο στο youtube 

2 200% 2/1 διπλάσια ταχύτητα 

1,50 150% 3/2 κανονικής ταχύτητας

1,25 125% 5/4 της κανονικής ταχύτητας 
1 κανονική ταχύτητα 

0,75 75% 3/4

0,5 50% 1/2 μισή από την κανονική 
0,25 25% 1/4

 

 

 

 

Δεκαδικοί Σύγκριση Decimals. Comparing decimals.

 

Δεκαδικοί Πράξεις. Decimals. Operations with decimals.

 

Δεκαδικοί. Decimals.

 

 

 

Playlist 2. Rounding numbers. Rounding a number. Multiple choice questions only.

 

 

 

 

Τηλεπαιχνίδι θεωρίας.

 

 

 

... , εκατοντάδες  χιλιάδες  ,δεκάδες χιλιάδες,

μονάδες χιλιάδες, εκατοντάδες, δεκάδες, μονάδες,

(υποδιαστολή),  δέκατα,  εκατοστά,  χιλιοστά,  δεκάκις χιλιοστά,  εκατοντάκις  χιλιοστά, ...

 

 

 

Ενότητα Α.3.1.

Θεωρία: σελίδες 56, 57

Δραστηριότητες: 1, 3 σελίδα 56

Δραστηριότητα: 4 σελίδα 57

Εφαρμογές:   1, 2, 3, 4, 5       σελίδα 58

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13 σελίδα 59 

(σελίδα 97) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών.

 

 

"Back 2 Math" - Rounding Decimal Rap- Drake

 

 

 

Decimal Place Value Song | Tenths and Hundredths | 5th Grade

 

Relating Fractions to Decimals Song | Decimal Notation | 4th Grade

 

 

 

Decimal Concepts: Math Song (with visuals)

 

 

 

Σε αρκετές χώρες (και στα βίντεο στις playlists) όταν γράφουν δεκαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούν αντί για κόμμα τελεία και αντίστροφα π.χ.
1,000 χίλια ,
1.3 ένα τελεία τρία
ενώ στην Ελλάδα γράφουμε
1.000 χίλια

1,3 ένα κόμμα τρία

 

Πώς λέγεται το τέταρτο δεκαδικό μετά την υποδιαστολή;
Δεκάκις χιλιοστό.

 

 

 

To convert a fraction to a decimal divide the numerator by the denominator.
a/b = a÷b

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 

Playlist 1: Fractions, decimals, percents. Conversions between fractions, decimals and percentages. Multiple choice questions.

 

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

Playlist 2. Rounding numbers. Rounding a number. Multiple choice questions only.

 

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

 

Δεκαδικοί Σύγκριση Decimals. Comparing decimals.

 

Δεκαδικοί Πράξεις. Decimals. Operations with decimals.

 

 

 

 

6,5*6,5=36,25

6,28*6,5=40,82

Δεκαδικοί Σύγκριση Decimals. Comparing decimals.

 

Δεκαδικοί Πράξεις. Decimals. Operations with decimals.

 

Δεκαδικοί. Decimals.

 

Δεκαδικοί Περιοδικοί Repeating Decimals Recurring Decimals

 

 

 

 

 

Adding and Subtracting Decimals Song - Fall Out Boy Parody

 

 

Ενότητα Α.3.2.

 

 

 

Ένα καρπούζι που ζυγίζει 9,5 κιλά 

κοστίζει 4,75 ευρώ. Πόσο κοστίζει

το ένα κιλό καρπούζι;

Κάνω τη διαίρεση 4,75:9,5 (κάθετα)

και βρίσκω πηλίκο 0,5 (με υπόλοιπο 0).

583,256:8=72,907

 

 

 

16.330,07565:45=362,89057

 

 

684:3.578=0,19116825041922...

 

Στη διαίρεση 

3.578:62=57,70967741935484...

Μόνο ένας στους 100 δεν κάνει κανένα λάθος και έφτασε στην τάξη ως το

57,7096774 αλλά και να συνέχιζε δεν θα έκανε λάθος.

Σε όλα τα αλλά τμήματα φτάνουν το πολύ ως το τέταρτο δεκαδικό
(που πολύ λίγοι ξέρουν ότι λέγεται δεκάκις χιλιοστό).

 

 

Multiplying Decimals Rap- Powers of 10- Math Rap

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 

3.578:64

 

78,6:0,00065

Καθήκοντα

2η ώρα 

 

4,40179897758:564,3

 

 

 

 

 

 

 

«O κανόνας των 3 δευτερολέπτων» για να μην τρακάρεις ποτέ

 

 

 

Μετατροπές μονάδες. Unit Conversion

 

units Simplifying expressions containing units. Μονάδες μέτρησης. Πράξεις.

 

 

 

 

 

 

Μονάδες μέτρησης μήκους(βίντεο). 

 

Quiz με μονάδες μέτρησης επιφανειών.  

 

Άνοιξε το κουτί: Μονάδες μέτρησης όγκου.  

 

 

 

 

 

 

 

Σε αρκετές χώρες (και στα βίντεο στις playlists) όταν γράφουν δεκαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούν αντί για κόμμα τελεία και αντίστροφα π.χ.
1,000 χίλια ,
1.3 ένα τελεία τρία
ενώ στην Ελλάδα γράφουμε
1.000 χίλια

 

 

Θεωρία: σελίδες 65, 66

Ανακεφαλαίωση: σελίδα 69

Δραστηριότητα: 3 σελίδα 64

Εφαρμογή:   1       σελίδα 66

Εφαρμογή:   4       σελίδα 67

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11 σελίδα 67

Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους: 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21 σελίδα 70

(σελίδα 115) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

 

 

 

1 μέτρο προς 1 χιλιοστόμετρο ίσον

1.000 χιλιοστόμετρα προς 1 χιλιοστόμετρο ίσον

1.000 προς 1 ίσον

1.000

 

 

 

Αν ένα φορητό ηχείο Bluetooth

έχει αδιαβροχοποίηση IPX7

σημαίνει ότι αντέχει

σε βύθιση στο νερό

σε βάθος πάνω από 1 μέτρο

για 30' (δηλαδή για 30 λεπτά).

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 

Playlist 1: Units. Unit conversion. Only multiple-choice questions.

 

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

 

Playlist 2. Simplifying expressions containing units. Operations with measurements. Comparing measurements.

 

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα

 

Πώς συνήθως λέμε την ώρα όταν είναι 

9 παρά 2 τέταρτα;

 

 

 

 

Πώς συνήθως λέμε την ώρα όταν είναι 

7 παρά 15 τέταρτα;

 

 

 

Πώς συνήθως λέμε την ώρα όταν είναι 

9 και 7 τέταρτα;

 

 

 

Πώς συνήθως λέμε την ώρα όταν είναι 

9 παρά 355;

 

 

 

Αναγωγή ομοίων όρων. ( Combine Like Terms)

 

 

 

Εξισώσεις. Equations

 

Μετάφραση λέξεων σε παραστάσεις. Word Problems Words to Math

 

Εξισώσεις Επίλυση Τύπων. Equations Solving a formula for a variable

 

 

2 ου βαθμού Εξισώσεις. Quadratic Equations

 

 

 

 

Θεωρία: σελίδα 73

Δραστηριότητες: 1, 2, 3, 4 σελίδα 72

 

 

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 σελίδα 74

(σελίδα 129) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

 

Say It Like Math Song (math song for Grade 5 and up)  

 

 

 

Algebra Song: Repeat It

 

4 · ? = 20, Swimming Otters NUMBER OF PLAYERS: 4

 

 

 

εξίσωση 

χ+9=25

1ο μέλος 

+χ+9

2ο μέλος 

+25

άγνωστος 

χ

όροι 

+χ, +9, +25

γνωστοί όροι 

+9, +25

άγνωστοι όροι 

+χ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (όποιος όρος αλλάζει μέλος, πρέπει να αλλάξει πρόσημο)

χ=+25-9

Αναγωγή ομοίων όρων

χ=+16

 

 

 

εξίσωση 

2χ-5=7-6χ

1ο μέλος 

+2χ-5

2ο μέλος 

+7-6χ

άγνωστος 

χ

όροι 

+2χ, -5, +7, -6χ

γνωστοί όροι 

-5, +7

άγνωστοι όροι 

+2χ, -6χ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (όποιος όρος αλλάζει μέλος, πρέπει να αλλάξει πρόσημο)

+2χ+6χ=+7+5

Αναγωγή ομοίων όρων

+8χ=+12

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.

+8χ/+8=+12/+8

Απλοποίηση

χ=3/2

 

 

 

εξίσωση 

2χ-5=7-6χ

1ο μέλος 

+2χ-5

2ο μέλος 

+7-6χ

άγνωστος 

χ

όροι 

+2χ, -5, +7, -6χ

γνωστοί όροι 

-5, +7

άγνωστοι όροι 

+2χ, -6χ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (όποιος όρος αλλάζει μέλος, πρέπει να αλλάξει πρόσημο)

-7-5=-2χ-6χ

Αναγωγή ομοίων όρων

-12=-8χ

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.

-12/-8=-8χ/-8

Απλοποίηση

12/8=χ

Απλοποίηση

3/2=χ

 

 

 

 

 

εξίσωση 

4-2χ=5

1ο μέλος 

+4-2χ

2ο μέλος 

+5

άγνωστος 

χ

όροι 

+4, -2χ, +5

γνωστοί όροι 

+4, +5

άγνωστοι όροι 

-2χ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (όποιος όρος αλλάζει μέλος, πρέπει να αλλάξει πρόσημο).

+4-5=+2χ

Αναγωγή ομοίων όρων

-1=+2χ

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.

-1/+2=+2χ/+2

Απλοποίηση

-1/2=χ

 

 

 

 

 

 

 

 

εξίσωση 

7-5χ=-4

1ο μέλος 

+7-5χ

2ο μέλος 

-4

άγνωστος 

χ

όροι 

+7, -5χ, +4

γνωστοί όροι 

+7, -4

άγνωστοι όροι 

-5χ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (όποιος όρος αλλάζει μέλος, πρέπει να αλλάξει πρόσημο)

-5χ=-4-7 

Αναγωγή ομοίων όρων

-5χ=-11

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.

-5χ/-5=-11/-5

Απλοποίηση

χ=11/5

 

 

 

 

 

 

 

 

Απορία μαθητή.

Άμα γράψουμε στο αποτέλεσμα

-2 ή 2 δεν είναι το ίδιο

επειδή τα διαβάζω

και λίγο μπερδεύτηκα.

Απάντηση 

Αν το αποτέλεσμα είναι 8

μπορείς να το γράψεις αν θες +8

Αν το αποτέλεσμα είναι -5 δεν γίνεται να το γράψεις αλλιώς.

3+5=+8

3+5=8

-2-3=-5

---

 

 

 

 

 

 

 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 

Playlist 1. Επιμεριστική ιδιότητα    βίντεο από 1 ως και 20,

 

 

 

Καθήκοντα

2η ώρα

Δες στην playlist ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ

τα πρώτα 17 βίντεο και ρώτα συγκεκριμένα.

π.χ. στο 3 βίντεο -3+4 γιατί βγήκε +1. Εγώ νομίζω -1.  

 

Playlist 3. Πλήθος όρων

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Καθήκοντα

3η ώρα 

 

Δες στην playlistΓινόμενο Z           Multiplying Integers  

τα πρώτα 33 βίντεο και ρώτα συγκεκριμένα.

π.χ. στο 3 βίντεο 7(-4) γιατί βγήκε -28. Εγώ νομίζω +3. 

 

 

Απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων. ( Simplifying Algebraic Expressions) βίντεο από 1 ως και 25 και από 42 ως και 46.

 

Καθήκοντα

4η ώρα 

 

-2(+7)=-14

-2+7=+5

 

-3·(-1)=+3

-3+1=-2

-2-7=-9

 

-2(-7)=+14

 

+3·(-1)=-3

 

1-3=-2

 

(-2)·(-1)·(-3)=-6

-6·3=-18

-3+2-5=-6

-3-1=-4

3·(χ-5)=3χ-15

 

2(-3+4χ)=-6+8χ

 

-3(4-2χ)=-12+6χ

 

3(-χ+2)=-3χ+6

 

-1(-2)·(-1)·(-3)=+6

 

7χ-3χ=4χ

 

3(α-3)=3α-9