Μάθημα : Β_Άλγεβρα

Θυμόμαστε γνώσεις από την Γ' Γυμνασίου για τα γραμμικά συστήματα και τις επεκτείνουμε.

• Μέθοδος αντίθετων συντελεστών
• Μέθοδος αντικατάστασης
• Μέθοδος γραφικής επίλυσης

Επιλύουμε προβλήματα με τη βοήθεια γραμμικών συνστημάτων.

Από το έτος 2024-25 δεν ασχολούμαστε με τη μέθοδο των οριζουσών (σχολιάζεται εν συντομία, χωρίς να ζητείται προς εξέταση, καθώς θα χρειαστεί αργότερα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού).

Σχολιάζουμε ακροθιγώς τα μη γραμμικά συστήματα και τη γεωμετρική τους ερμηνεία.

Παράγραφος 2.1:  Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων 

• Μονοτονία
• Ακρότατα
• Συμμετρίες (άρτια-περιττή)

Παράγραφος 2.2:  Μετατόπιση καμπύλης 

• Κατακόρυφη
• Ορισζόντια

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Τους θυμηθήκαμε με την βοήθεια του μικροπειράματος 1 

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0^o ≤ ω ≤ 360^o

Τους υπολογίσαμε με την βοήθεια του μικροπειράματος 2

Πειραματιστείτε και μόνοι σας στο σπίτι.....

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω>360^o  ή  ω <0^o
• Τριγωνομετρικός κύκλος
  • Άξονας ημιτόνων
  • Άξονας συνημιτόνων
  • Εύρος διακύμανσης ημιτόνου και συνημιτόνου
  • Άξονας εφαπτομένων
• Ακτίνιο
  • ως μονάδα μέτρησης μήκους τόξου
  • ως μονάδα μέτρησης γωνίας
  • Μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα

Σύντομη γραπτή δοκιμασία

Α. Γωνίες αντίθετες

• Ίδια συνημίτονα
• Αντίθετοι οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί

Β. Γωνίες με άθροισμα 180⁰

• Ίδια ημίτονα
• Αντίθετοι οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί

Γ. Γωνίες με διαφορά 180⁰

• Ίδιες εφαπτομένες και συνεφαπτομένες
• Αντίθετοι οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί

Δ. Γωνίες με άθροισμα 90⁰  (ω & 90⁰-ω)

• ημ(90⁰-ω)=συνω
• συν(90⁰-ω)=ημω
• εφ(90⁰-ω)=σφω
• σφ(90⁰-ω)=εφω

Α) Περιοδικές συναρτήσεις

Β) Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

• Ορισμός
• Παράσταση
• Πεδίο ορισμού

Γ) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

• Πεδίο ορισμού
• Σύνολο τιμών
• Μονοτονία
• Ακρότατα
• Περιοδικότητα
• Γραφική παράσταση

Δ) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx

• Πεδίο ορισμού
• Σύνολο τιμών
• Μονοτονία
• Ακρότατα
• Περιοδικότητα
• Γραφική παράσταση

Ε) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

• Πεδίο ορισμού
• Σύνολο τιμών
• Μονοτονία
• Ακρότατα
• Περιοδικότητα
• Γραφική παράσταση

Στ) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = σφx (ως άσκηση: Ά Ομάδας, ασκ.9)

Α) Επίλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων

• ημx=α
• συνx=α
• εφx=α
• σφx=α

Β) Δειγματική διδασκαλία στο Β1 για την "ημx=α", παρουσία συναδέλφων

Ορίζουμε το μονώνυμο και το πολυώνυμο του x.

Αναγνωρίζουμε τα σταθερά πολυώνυμα καθώς και το μηδενικό.

Μαθαίνουμε για την ισότητα δύο πολυωνύμων, αλλά και το βαθμό ενός πολυωνύμου.

Θυμόμαστε πώς κάνουμε πρόσθαιση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό πολυωνύμων.

Τέλος, βρίσκουμε το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δύο πολυωνύμων.

• Ορίζουμε την ταυτότητα της διαίρεσης δύο πολυωνύμων
  
  
• Μαθαίνουμε, για πρώτη φορά στη σχολική μας ζωή, την διαίρεση πολυωνύμων (κάθετη)
  
  
• Αποδεικνύουμε το θεώρημα του υπολοίπου 
  "Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ".
  Είναι δηλαδή υ=Ρ(ρ).
  
  
• Αποδεικνύουμε το θεώρημα του παράγοντα
  "Ένα πολυωνύμο Ρ(x) θα έχει παράγοντα το x - ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x)"
  Είναι δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0
  
  
• Μαθαίνουμε το Σχήμα Horner (Χόρνερ), ώστε με έναν εναλλακτικό τρόπο να κάνουμε τη διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο της μορφής x-ρ.
  
  
• Μαθαίνουμε τις ταυτότητες:
  • (x^ν - α^ν) = (x - α)(x^ν-1 + x^ν-2α + x^ν-3α² + … + α^ν-1), αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος
    και
  • x^ν + α^ν = (x + α)(x^ν-1 - x^ν-2α + x^ν-3α² - … + α^ν-1), αν ν περιττός φυσικός
    

Προσπάθεια επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων  \(P(x) = 0\) βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου με τρία.

Η επίλυση στηρίζεται στην γενική μέθοδο της χρήσης ισοδυναμίας: 

\(P(x) = 0 \Leftrightarrow {P_1}(x) \cdot {P_2}(x) \cdot ... \cdot {P_k}(x) = 0 \Leftrightarrow  {P_1}(x) = 0\) ή \({P_2}(x) = 0\) ... ή \({P_k}(x) = 0\)

Το παραπάνω, μπορούμε να το επιτύχουμε παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο \(P(x)\):

• είτε με δικές αυτόνομες προσπάθειες παραγοντοποίησης, 
• είτε χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner

Η εύρεση ακέραιης ρίζας, όμως, του πολυωνύμου στηρίζεται στο θεώρημα ακεραίων ριζών.

Πρόσημο πολυωνύμου - Πολυωνυμικές ανισώσεις

Έχοντας παραγοντοποιήσει το πολυώνυμο \(P(x)\) σε πρωτοβάθμιους και δευτεροβάθμιους παράγοντες, μπορούμε να βρούμε το πρόσημό του και έπειτα να επιλύσουμε εύκολα και κάθε ανίσωση της μορφής:  \(P(x) < 0\) ή \(P(x) > 0\) ή \(P(x) \le 0\) ή \(P(x) \ge 0\).

Κάνουμε πίνακα προσήμων, όπου για κάθε παράγοντα βρίσκουμε το πρόσημό του, π.χ.

\(P(x) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {2{x^2} + x + 1} \right)\)

Α) Κλασματικές εξισώσεις

Β) Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Γ) Άρρητες εξισώσεις

Δ) Ανισώσεις της μορφής: \(\frac{{A(x)}}{{B(x)}} < 0\),  \(\frac{{A(x)}}{{B(x)}} > 0\),  \(\frac{{A(x)}}{{B(x)}} \le 0\) ή  \(\frac{{A(x)}}{{B(x)}} \ge 0\)  

Ε) Άρρητες ανισώσεις